Nochmal Determinante

11.05.2005, 13:49

Moeki

Nochmal Determinante

Zitat:

Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen

C mit $\begin{eqnarray*} C^T * C = E, C \in K_{n,n} \end{eqnarray*}$

Aufgepasst jetzt:

$\begin{eqnarray*} C^T * C = E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |C^T * C| = |E| \end{eqnarray*}$

Nach dem Multiplikationssatz ( $\begin{eqnarray*} |A*B| = |A| * |B| \end{eqnarray*}$ ) folgt:

$\begin{eqnarray*} |C^T| * |C| = |E| \end{eqnarray*}$

Aus der Vorlesung ist bekannt, dass $\begin{eqnarray*} |C^T| = |C| \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} |C| * |C| = |E| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |C|^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |C| = +/- 1 \end{eqnarray*}$

Richtig so weit? Da eine Matriz nur eine Determinante hat, muss es in Abhängigkeit vom Typ der Matrix (n,n) / von n abhängig sein, ob ich +1 oder -1 wähle. Dass kann man ausprobieren.

Oder wie seht ihr das?

11.05.2005, 14:14

quarague

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der eigentliche Beweis ist so richtig, nur bei der Interpretation am Ende musst du ein bisschen aufpassen. Am Anfang steht, das die Matrizen aus Kn,n kommen, also die Einträge liegen in einem beliebigen Körper K, welche und wieviele Lösungen die Gleichung |C|=1 hat, hängt vom Körper ab, in IC sind es zum Beispiel deutlich mehr als +1 und -1.
Ausserdem kannst du auch über IR für beliebige n Matrizen mit det plus oder minus eins finden. Ich glaube viel mehr als |C|=1 kannst du in so einem allgemeinen Fall nicht sagen.

11.05.2005, 14:27

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@quarague

Da widerspreche ich: Auch im Komplexen kommt für C nur |C|=+1 oder |C|=-1 in Frage - beide Werte übrigens durch konkrete Matrizen realisierbar, und das für jedes n.

Vielleicht verwechselst du transponierte Matrizen mit hermitesch adjungierten Matrizen - dort sind dann in der Tat alle Determinantenwerte d mit |d|=1 möglich.

11.05.2005, 14:34

quarague

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Arthur hat recht, sorry, muss an der Notation mit Betragsstrichen für die Det gelegen haben, ... Augenzwinkern

11.05.2005, 14:42

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Das ist in der Tat verwirrend - besonders wenn man dann mit dem Betrag der Determinante operieren will: ||C|| birgt ein größeres Verwirrungspotential als |det(C)|. Augenzwinkern

12.05.2005, 08:44

Kieni

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Hab auchmal irgendwo gelesen, das für orthogonale Matrizen die Determinante immer entweder +1 oder -1 ist. Wir hatte ja orthogonale gegeben, also wird mein Ergebnis schon irgendwie richtig sein, oder?

13.05.2005, 07:18

Micky2001

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Und wovon ist es nun abhängig, ob ich +1 oder -1 wähle?

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