Normalenform und Schnittgerade von 2 Ebenen berechnen

03.01.2008, 15:28

Berndy

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Normalenform und Schnittgerade von 2 Ebenen berechnen

Hallo,

Ich habe ein kleines Problem bei folgender Aufgabe:

Gegeben sind die Ebenen E1 : $\begin{eqnarray*} \vec{r} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und E2: $\begin{eqnarray*} \vec{r} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Stellen Sie die Ebenen in Normalenform dar. Wählen Sie dazu Vektoren mit möglichst
kleinen aber ganzzahligen Komponenten.

Da die Normalenform (also parameterfreie Form) einer Ebene wie folgt lautet: $\begin{eqnarray*} \vec{n}=(\vec{r}-\vec{r_1})=0 \end{eqnarray*}$ habe ich das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene gebildet und somit $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ bestimmt.
So lautet dann meine Ebenengleichung in Normalenform für Ebene1 : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} * (\vec{r}-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
Und für Ebene2 : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} * (\vec{r}-\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Jetzt steht aber noch in der Aufgabe dass man Vektoren mit möglichst kleinen ganzzahligen Zahlen wählen soll. Da habe ich nicht so ganz verstanden was damit gemeint ist. Ich habe mir das jetzt so gedacht dass ich für $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ einen beliebigen Vektor mit den eben genannten Eigenschaften bestimme.
Das habe ich dann gemacht:
Ebene 1: $\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ebene 2: $\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da bin ich mir jetzt aber nicht sicher weil ich es eigentlich so kenne dass man für $\begin{eqnarray*} \vec{r}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ setzt.

und der zweite Augabenteil lautet:
b) Berechnen Sie die Schnittgerade g von E1 und E2 in Punkt-Richtungsform! Wählen Sie dazu Vektoren mit möglichst kleinen aber ganzzahligen Komponenten.

Wie man eine Schnittgerade in Normalenformberechnet weiß ich allerdings nicht in Punktrichtungsform. Kann mir das jemand kurz erklären?

LG Bernd

03.01.2008, 20:47

mYthos

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Deine Ebenengleichungen in Normalform haben den richtigen Normalvektor. Aber sie sind keine Gleichungen! Was fehlt also ??

Allgemein ist es Tatsache, dass Richtungs- und Normalvektoren beliebig verlängert oder verkürzt werden können und damit die Gleichung richtig bleibt. Das heisst jedoch, dass die Komponenten dieser Vektoren nur mit einer Zahl multipliziert (oder durch eine Zahl dividiert) werden dürfen. Das was du da gemacht hast, ist klarerweise Unsinn Big Laugh

Big Laugh

In deinen Ebenengleichungen sind die Normalvektoren bereits mit den kleinsten ganzen Zahlen angeschrieben. Also ist dort nichts mehr zu tun.

Anders wäre es z.B. bei (12; 6; 18), diesen könntest du auf (2; 1; 3) verkürzen.

Zu b)

Schreibe beim Gleichsetzen der beiden Ebenen diese in Zeilenform (-> 3 Gleichungen) und löse sie nach den 4 Parametern auf. Da 3 Gleichungen mit 4 Variablen vorliegen, kannst du einen Parameter belassen und die anderen drei eliminieren. Die sich daraus ergebende Gleichung (mit 1 Parameter) ist die der Schnittgeraden.
Hinweis: Den Richtungsvektor kannst du zuletzt entsprechend verändern (verlängern, verkürzen), sodass dieser in den kleinstmöglichen ganzen Zahlen erscheint.

mY+

08.01.2008, 16:52

Berndy

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Hallo,
Ich habe den ersten Teil nun nochmal gemacht:
Die Normalenvektoren waren ja richtig, so wie du gesagt hast.

Die Gleichungen lauten nun:
E1: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} * (\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4=2x-y+2z \end{eqnarray*}$

E2: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} * (\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0=2x+2y-z \end{eqnarray*}$

Kannst du mal schauen ob das nun so richtig ist?
LG

08.01.2008, 20:49

mYthos

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Zitat:

Original von Berndy
...
Die Gleichungen lauten nun:
E1: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} * (\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4=2x-y+2z \end{eqnarray*}$
...

Der Stützpunkt von E1 lautet (-1; 0; 1) und nicht (1; 0; 1), demzufolge ist
E1: 2x - y + 2z = 0

E2 ist richtig

mY+

08.01.2008, 21:39

Berndy

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Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe ich aber leider immer noch nicht.
Kannst du mir das nochmal genauer erklären?

Du hast geschrieben dass ich die beiden Gleichungen gleichsetzen soll:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also habe ich folgende 3 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda + 3 \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 = -2 \lambda -3 \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = \lambda \end{eqnarray*}$

Habe ich bis hierher etwas falsch gemacht? Kannst du mir bitte weiterhelfen...

LG

08.01.2008, 21:59

mYthos

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Ja, da ist etwas falsch gelaufen, eigentlich am Anfang nur formal, was sich aber bei der Rechnung nun fatal auswirkt:

Es liegt an den Parametern, du hast die gleichen Bezeichnungen bei beiden Ebenen verwendet! Es sind aber verschiedenen Ebenen auch verschiedene Parameter zuzuordnen! Solange du mit jeder Ebene allein gerechnet hast, war's nur ein Formfehler, also die Koordinatengleichungen stimmen wohl.

Nimm also links $\begin{eqnarray*} \lambda, \ \mu \end{eqnarray*}$ , rechts aber z.B. u, v oder s, t . Damit liegen 4 Variable in drei Gleichungen vor, wie gesagt .. (drei eliminieren, 1 bleibt übrig ..)

Weil du allerdings schon die Koordinatengleichungen hast, könntest du diese auch heranziehen.

Beispiel:

2x -y - z = 4
x -2y + z = 2
--------------------
3x - 3y = 6
->
x-y = 2

Setze y = t; -> x = 2 + t -> z = 2 - 2 - t + 2t = t
->
Schnittgerade (in Parameterform):
(x; y; z) = (2; 0; 0) + t (1; 1; 1)

mY+

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08.01.2008, 23:08

Berndy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 0\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = s+2t+ \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = -t+2 \mu + 2 \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 = -2s-2t+2 \mu + \lambda \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich 3 Gleichungen und 4 Unbekannte. Kann ich da jetzt eine Variable frei bestimmen? z.b. $\begin{eqnarray*} \mu = 1 \end{eqnarray*}$ ?
Oder wie mache ich jetzt weiter?

08.01.2008, 23:36

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
....
Damit liegen 4 Variable in drei Gleichungen vor, wie gesagt .. (drei eliminieren, 1 bleibt übrig ..)
...

Eine Variable bleibt frei stehen, einfach als Parameter, keine Zahl einsetzen. Die anderen drei mittels der drei Gleichungen eliminieren; d.h. alle anderen Variablen in dieser V. ausdrücken, die stehen bleibt. Dies ist dann der Parameter der Geradengleichung.

mY+

EDIT: Überprüfe nochmals die End-Gleichungen, die stimmen nicht

EDIT2: Nur die mittlere Gleichung stimmt nicht ganz, Vorzeichen von t! Die anderen zwei passen. In der Vektorgleichung davor sind offensichtlich nur Schreibfehler.

09.01.2008, 00:30

Berndy

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Ich habe die Gleichungen jetzt nochmal neu aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} 0 = \mu + s + 2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 = -2\lambda - 2 \mu - t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = - \lambda -2 \mu +2s+2t \end{eqnarray*}$

Jetzt sollten sie stimmen oder?

Ich habe da jetzt versucht nach den Variablen aufzulösen aber bekomme es einfach nicht hin! Wie soll das gehen?

09.01.2008, 00:51

mYthos

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Die Gleichungen stimmen nun.

2.Gl. + 2*3.Gl.: $\begin{eqnarray*} 3 = 4s + 5t - 2 \mu \end{eqnarray*}$

1. Gl.: $\begin{eqnarray*} 0 = s + 2t + \mu \end{eqnarray*}$ |*2 | add.
---------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} 3 = 6s + 9t \end{eqnarray*}$
->
$\begin{eqnarray*} 1 = 2s + 3t \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} s = \frac{1-3t}{2} \end{eqnarray*}$

Das jetzt in den rechten Teil der Ausgangs-Vektorgleichung einsetzen (das ergibt ja den Schnittpunkt S):

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + \frac{1-3t}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2t \\ -t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

t ist der Parameter der Geradengleichung.

Nun noch mit dem Bruch reinmultiplizieren, alles addieren, ordnen nach Zahlen und t. Die reinen Zahlen sind der Stützpunkt, die Koeffizienten von t die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden.

Bemerkung:

Einfacher wäre es u.U. gegangen, hättest du meinen Hinweis (+ Beispiel) mit den Koordinatengleichungen weiterverfolgt, weil du diese ja schon hast. Da beide (Koordinaten-)Gleichungen nur x, y, z Glieder enthalten - die Konstanten sind Null - geht die Gerade letztendlich durch den Nullpunkt. Deren Richtungsvektor (-1; 2; 2) kriegt man dann auch aus diesen beiden Gleichungen, wenn man eine Variable (wie im Beispiel) t setzt ....

mY+

09.01.2008, 01:35

Berndy

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Dein Beispiel mit den Koordinatengleichungen kenne ich bereits. In dieser Aufgabe sollte speziell geübt werden wie man die Geradengleichung anhand der Punkt-Richtungsform ermittelt.

...und wie man sieht muss ich da noch üben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist das was du da zuletzt geschrieben hast schon das Ergebnis oder was ist daran noch zu tun?

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + \frac{1-3t}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2t \\ -t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe nicht so ganz verstanden was ich jetzt noch tun muss.
Kannst du mir das bitte genauer erklären?

LG

10.01.2008, 14:19

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
t ist der Parameter der Geradengleichung.

Nun noch mit dem Bruch reinmultiplizieren, alles addieren, ordnen nach Zahlen und t. Die reinen Zahlen sind der Stützpunkt, die Koeffizienten von t die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden.
...

Wie schon gesagt, bitte lesen ...

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + \frac{1-3t}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2t \\ -t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 + \frac{1-3t}{2} + 2t \\ 1 - t \\ 1 - 3t + t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} + \frac{t}{2} \\ 1 - t \\ 1 - 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} ... \\ - ... \\ - ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

11.01.2008, 18:15

Berndy

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Hallo mYthos,

Ich habe die Aufgabe gerade noch einmal gemacht und mir ist dabei etwas aufgefallen.

Kann es sein dass dir hier ein Fehler unterlaufen ist?

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + \frac{1-3t}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2t \\ -t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier hast du doch nur den Parameter t in die Klammer gezogen, dabei wurde aber aus 2t ein t. Das ist wohl ein Schreibfehler.

Mein Ergebnis lautet verbessert
$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ - 1 \\ - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das dann korrekt?

LG

11.01.2008, 18:25

riwe

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ich bin zwar nicht mythos, aber du dürftest recht haben Freude

Freude

ich habe für die schnittgerade

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit den gewünschten hübschen ganzen zahlen

11.01.2008, 18:30

Berndy

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Oki, vielen Dank dass du mir so schnell geholfen hast! smile

smile

11.01.2008, 19:24

Berndy

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Ich habe jetzt die Lösung noch anhand der Koordinatengleichungen zu lösen veruscht, wie du in deinem Beispiel gezeigt hast:

Beispiel:

2x -y - z = 4
x -2y + z = 2
--------------------
3x - 3y = 6
->
x-y = 2

Setze y = t; -> x = 2 + t -> z = 2 - 2 - t + 2t = t
->
Schnittgerade (in Parameterform):
(x; y; z) = (2; 0; 0) + t (1; 1; 1)

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

Meine Gleichungen sind ja für:
E1: 2x-y+2z=0
E2: 2x+2y-z=0

=> E1 + E2 = 4x+y=0

Ich setze für y=t
=> x=-t/4 => z=3t/2

=> (x;y;z) = t(-1/4 ; 1 ; 3/2)

Ist das so richtig?

11.01.2008, 19:38

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Berndy
...
Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

Meine Gleichungen sind ja für:
E1: 2x-y+2z=0
E2: 2x+2y-z=0

=> E1 + E2 = 4x+y=0
...

Stimmt ab hier nicht, weil du beim Addieren z unter den Tisch fallen gelassen hast .... die z fallen nicht weg.

Mein Fehler, den du bemerkt hast, war nur ein Schreibfehler, danach stimmt aber die Parametergleichung der Schnittgeraden.

mY+

13.01.2008, 12:12

Berndy

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Hallo,
Oh ja da habe ich einen Fehler gemacht. Ich habe es nochmal neu probiert.

E1: 2x-y+2z=0
E2: 2x+2y-z=0

E1-E2 => -3y+3z=0 => y=z

setze y=t => z=t => x=-t/2

=> (x;y;z)= t( -1/2 ; 1 ; 1 ) = t( -1 ; 2 ; 2 )

Ist das jetzt so richtig?

Jetzt habe ich allerdings eine Frage dazu:

Als ich die Schnittgerade zuvor auf die andere Möglichkeit berechnet habe, habe ich folgendes Ergbeniss herausbekommen:
$\begin{eqnarray*} \vec{S} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sollte das Ergebniss der Schnittgerade aber nicht gleich sein?

Was ist daran jetzt der Fehler?

LG

15.01.2008, 23:12

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es liegt kein Fehler vor! Beide Resultate sind richtig. Das liegt daran, dass bei Parameterformen die Stützpunkte verschieden sein und auch die Richtungsvektoren nur bis auf einen beliebigen Faktor bestimmt sein können.

Setzt du in deiner zweiten Gleichung für t = 1/2, bekommst du den Stützpunkt deiner ersten Gleichung. Die Richtungsvektoren beider Gleichungen unterscheiden sich nur um den Faktor -1, also zeigen sie in die gleiche Richtung (sie bezeichnen also die gleiche Gerade!), und nur darauf kommt es an.

mY+

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