offene und abgeschlossene Teilmengen

11.05.2005, 15:57	mcmanic	Auf diesen Beitrag antworten »
offene und abgeschlossene Teilmengen Hi, ich habe folgendes Problem. Gegeben ist eine Menge $\begin{eqnarray} A\subseteq M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M\setminus A=A^c \end{eqnarray}$ . a) Man zeige das $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ offen gdw. $\begin{eqnarray} A^c \end{eqnarray}$ abgeschlossen. Jetzt bin ich so ran gegangen das ich es über einen Wiederspruch behaupten möchte. Ich sage also 1. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist offen gdw. $\begin{eqnarray} A^c \end{eqnarray}$ offen ist. Und 2. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen gdw. $\begin{eqnarray} A^c \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist. zu 1. Wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^c \end{eqnarray}$ offen sind , dann existieren keine Randpunkte ?! $\begin{eqnarray} \triangle \end{eqnarray}$ sollen im folgenden meine Inneren und $\begin{eqnarray} \perp \end{eqnarray}$ meine Randpunkte sein. Da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ offen besteht $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nur aus inneren Pkt. $\begin{eqnarray} \triangle \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} A=\triangle \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A^c=\triangle \end{eqnarray}$ muss ebenfalls gelten da $\begin{eqnarray} A^c \end{eqnarray}$ auch offen ist.Das würde ja bedeuten das $\begin{eqnarray} A^c=A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M\setminus A=A \end{eqnarray}$ . Das wäre der erste Wiederspruch. zu 2. Beide sind abgeschlossen . D.h. $\begin{eqnarray} \perp\in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \perp\in A^c \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \perp\in M\setminus A \end{eqnarray}$ , was der 2te Wiederspruch ist. Könnte ich das so machen oder ist das Mathematisch nicht korrekt. b) $\begin{eqnarray} A,B\subseteq M \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ abgeschlossen dann ist auch $\begin{eqnarray} A\cap B \end{eqnarray}$ abgeschlossen und wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ offen dann ist auch $\begin{eqnarray} A\cap B \end{eqnarray}$ offen. c) Das gleiche wie b nur das da immer $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ steht. zu b und c weis ich nur das ich über die De-Morgan Regel ran gehen soll. Wie das genau funktioniert weis ich nicht da ich mir das ganze mit 2 Teilmengen nicht gut vorstellen kann. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. EDIT: Hat niemand eine Idee zu dem Thema. Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.
11.05.2005, 22:48	McManic1	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung für den Doppelpost aber ich bräuchte dringend ne Antwort. Wäre echt cool wenn mir jemand helfen könnte.

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