polynomiale funktion

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way Auf diesen Beitrag antworten »
polynomiale funktion
Hallo,

ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich keine Ahnung habe, was die von mir wollen.


Aufgabe:
Suchen Sie 2 Polynome, welche die polynomiale Funktion x|->x^3+1x-1 ergeben. Über den zwei einsen steht ein strich, den ich hier nicht darstellen konnte, aber nur über den einsen, auch bei 1x, nur über der eins, nicht über dem x.


Hat der Strich über der 1 vielleicht etwas mit "ungerade" zu tun?
Auch wenn es so wäre, kann ich damit nichts anfangen.
Weiss vielleicht jemand um was es hier geht?

Danke.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich nehme an "polynomiale funktion" entspricht "polynomfunktion"

diese aussage verstehe ich nicht:
Zitat:
Suchen Sie 2 Polynome, welche die polynomiale Funktion x|->x^3+1x-1 ergeben.

inwiefern "ergeben"?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: polynomiale funktion
@way

Deine wirre Formulierung ergibt für uns absolut keinen Sinn. Du solltest die betreffende Aufgabe vielleicht einscannen, dann wird sich das sicher aufklären lassen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Körper der Charakteristik 0 bestimmen verschiedene Polynome auch verschiedene Polynomfunktionen. Die Aufgabe hier ist also nur über einem Körper der Charakteristik sinnvoll.
way Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

sorry, wusste nicht, dass man den (a)-Teil dazu benötigt. Ich hab die ganze Aufgabe jetzt nochmal abgetippt.

Der (a)-Teil ist mir klar.

Aufgabe: Polynome und polynomiale Funktionen

(a) Bestimmen Sie alle Abbildungen von Z/(2) -> Z/(2) und zeigen Sie, dass alle diese Abbildungen poynomial sind.

(b) Suchen Sie 2 Polynome, welche die polynomiale Funktion x |-> x^3+1^-x-1^- ergeben. (Hier muss über die beiden Einsen noch ein Strich. Ich wusste nicht wie man das darstellt.)

(c) Geben Sie alle Polynome in Z/(2)[T] an, welche die gleiche polynomiale Funktion ergeben.

Grüsse...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(b) Suchen Sie 2 Polynome, welche die polynomiale Funktion x |-> x^3+1^-x-1^- ergeben. (Hier muss über die beiden Einsen noch ein Strich. Ich wusste nicht wie man das darstellt.)


na seien f(x), g(x) Polynomfunktionen; es soll gelten die koeffizienten von f und g sind aus dem Z/(2);
damit sie gleich sind muss gelten: f(0)=g(0) und f(1)=g(1)
also das bild jedes elementes ist jeweils gleich

das klingt doch eigentlich nach recht leichtem raten.
berechne doch erst mal die funktionswerte deiner funktion bei 0 und 1.
 
 
way Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll ich das machen? ich weiss nicht was der strich über der 1 bedeutet.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

1 quer ist die restklasse von 1.
über dem ring (körper!) Z/2Z wird ja Z nach 2Z faktorisiert.
dann gilt z.b. das 1 und 3 und 5 alle in der gleichen äuivalenzklasse (diese klasse wird eben mit quer bezeichnet, also zb. 1 quer, denn 1 ist vertreter) liegen.

die 1 quer kannst du also im endeffekt wie eine 1 lesen, aber du würdest exakt das gleiche ergebnis bekommen, wenn du für deine koeffizienten statt {0,1} jede beliebige andere ganze zahl einsetzen würdest (aber setz da mal 3 ein, das wäre die gleiche funktion wie wenn du 1 einsetzen würdest)

setze also deine koeffizienten nur aus {0,1}, dann kannst du das ignorieren.

mfg jochen


edit: grammatik
way Auf diesen Beitrag antworten »

was heisst eigentlich:

"über dem Körper Z/2Z wird Z nach 2Z faktorisiert" ?

die aufgabe lautet, ich soll 2 polynome suchen, die die polynomiale funktion ergeben, bei der ich für 1 mit Strich düber.
da nehm ich einfach

x^3+3x-3
x^3+5x-5

da gibt es unendlich viele, kann das sein

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das sind terme, keine polynome.
da muss y=, oder f(x)=... oder ähnlich davor!

aber zur sache!
deswegen meine ich ja das mit dem 1 quer und dem wählen deiner komponenten aus {0,1}, denn 3 liegt in 1 quer.

somit sind die polynomterme ...+3=...+1=...+5, also die zugehörigen funktionen auch gleich!
du sollst aber unterschiedliche funktionen suchen!


edit: hast du da einen eintrag gelöscht zwischendrin!?
wo ist denn der post auf den ich da geantwortet habe? verwirrt

edit2: looool, das war MMS, schock mich doch nicht so! Wink
way Auf diesen Beitrag antworten »

ich schreib mal statt 1 mit querstrich: [1] und für
0 mit querstrich: [0]

jetzt hab ich verstanden was du meinst, wenn ich [0] in meine funktion für x einsetze, erhalte ich [1].

und wenn ich [1] in meine funktion für x einsetze, dann erhalte ich auch [1].

das heisst, egal was ich für x einsetze, es kommt immer eine ungerade zahl als ergebnis.

das heisst, ich kann sagen f(x)=[1] ist ein polynom, welches die polynomiale funktion x|->x^3+[1]x-[1] ergibt.

jetzt fehlt mir noch ein polynom, ich komm aber leider nicht drauf.
weisst du vielleicht
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
edit2: looool, das war MMS, schock mich doch nicht so! Wink

War wohl Zufall Augenzwinkern
Bin ich für dich immer noch ein "Mathemegaspezialist"? Hammer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, hallo MatheMatikerSpezi, schon wieder verdreht
ich war halt noch verwirrt!


zur sache:
ja dann scheint deine funktion tatsächlcih konstant 1 zu sein, hast du richtig eingesetzt.
also ist g(x)=1 auf jeden fall eine passende funktion.
für die andere musst du nun halt etwas knobeln.
addiere doch 1 und ziehe es auf eine andere art wieder ab!

mfg jochen
way Auf diesen Beitrag antworten »

hi jochen,

ich hab da doch noch einmal zwei fragen, bevor ich weitermachen kann.

darf in dem polynom eine restklasse vorkommen?

und die zweite frage ist, wie ist der definiitonsbereich des polynoms? also was darf ich für das x alles einsetzen?

ich glaube, dass man nur dir repräsentanten der restklassen einsezten darf.

aber wieso ist das so?

grüsse...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

allgemein:
dein Polynom ist ein Polynom über einer unbekannten X über dem Körper K
schreibe dann: f ist aus K[X]

das heißt: deine koeffizienten und argumente (x-werte, die du einsetzen darfst) sind aus dem körper.


der körper hier hat aber nur 0 und 1 als elemente (wegen mir auch 0quer, 1quer, das sind deine körperelemente!), er darf also nicht mehr enthalten.

Zitat:
darf in dem polynom eine restklasse vorkommen?

das sind deine körperelemente, der körper besteht aus den restklassen der faktorisierung von Z nach 2Z.

mfg jochen
way Auf diesen Beitrag antworten »

ok,

dann nehm ich einfach f(x)=1 und
g(x)=x^2-x

Aber wie soll die c jetzt gehn? Muss ich da alle Polynome angeben?
Irgendwie allgemein vielleicht???

Grüsse...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
g(x)=x^2-x

g(1)=0, g(0)=0

g stellt nicht die gleiche polynomiale funktion wie deine ursprungsfunktion dar!
denn diese hatte als funktionswert konstant 1.


beachte bitte übrigens folgendes: -x gibt es nicht!
denn das wäre -1*x, dein körper hat aber nur 0 und 1 als elemente!
schreibe stattdessen "+x", denn dein "-1" (also das additiv inverse zu 1) ist 1 selbst!
way Auf diesen Beitrag antworten »

ok, den fehler seh ich ein.

aber das minus gehort zum polynom und da ist es doch erlaubt, oder?

oder meinst du, dass im polynom nur "+" vorkommen dürfen?

weil das polynom mit "+" definiert ist?

grüsse...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
oder meinst du, dass im polynom nur "+" vorkommen dürfen


du hast wie immer deine polynomfunktionsform:

, okee? ganz normale polynomfunktion allgemeine form.
deine koeffizienten sind nun aus dem körper IF_2 (also der körper mit 0, 1 eben)

kannst du also -1 einsetzen? NEIN
aber bedenke, dass eben das, was du dir unter -1 denkst, das gleiche wie +1 ist.... denn 1+1=0
way Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal :-))

und ich hab immer gedacht, die Koeffizienten sind die Variablen die vor dem x stehen?!?!

Das heisst, man darf für a0, a1, a2... und x die Elemente [0] und [1] einsetzen???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ganz richtig, dein polynomring ist der IF2[X], also der polynomring über IF2 (dein körper) in der einen unbekannten X.
koeffizienten sind aus {0,1}.

mfg jochen

[ps: wegen mir auch aus [0],[1], aber ich werde das wort faktorisierung hier jetzt nicht mehr verwenden]
way Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das erste polynom war ja

f(x)=1

als zweites nehm ich dann einfach

g(x)=2x+1

passt, oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

2 ist äquivalent zu 0, 2 gibts doch gar nicht genauer gesagt, das wäre beides [0]

und dann ist natürlich f(x)=[0]x+1 g(x)=1 <== hier völlig äquivalente funktionsterme

habe ich doch schon gesagt: nur [0] und [1] als koeffizienten!
way Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nächster Versuch.

Jetzt müsste es aber endlich passen.

f(x)=x^2+x+1

ok?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: polynomiale funktion
ja, das passt auch

bedenke um alle zu finden:
da f(0)=1 gelten muss, muss dein absolutglied 1 sein

beachte: x^n=x, für n>0 und x aus {0,1}
desweiteren gilt 1+1=0

du kannst dein polynom jeweils zerlegen in p(x)=q(x)+1; dabei muss dein q(x) immer ohne absolutglied und für alle x aus {0,1} 0 sein

jetzt mal weiterdenken




edit: +n
way Auf diesen Beitrag antworten »

q(x) muss ja immer 0 sein.

q(x) ist in 2 fällen 0.


1. fall: für x=0:

hier sind auch alle summanden 0, und somit q(x)=0


2. fall: für x=1:

hier muss immer eine ungerade anzahl von den koeffizienten 1 sein oder alle koeffizienten, damit q(x)=0 ist.

bringt das was?
ich hab mir das so überlegt aber viel weiter bringt mich das nicht.
hast du mir vieleicht noch einen tip?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hier muss immer eine ungerade anzahl von den koeffizienten 1 sein oder alle koeffizienten, damit q(x)=0 ist

hallo Wink
das ist doch als idee schon mal ausgezeichnet, aber: wirklich eine ungerade anzahl an koeffizienten? es muss ja q(1)=0 gelten....
nimm q(x)=x, q(x)=x^3+x^2+x, das ist genau falsch rum, gerade muss hier hin!

ganz wichtig: alle koeffizienten, was verstehst du unter alle?!


edit: da fehlte ein x
way Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

ja, klar,natürlich eine gerade anzahl an koeffizienten muss 1 sein. sorry, ich hab übersehn dass da ja noch das absolutglied 1 dazu kommt.

mit alle koeffizienten mein ich natürlich alles koeffizienten von q(x).

q(x) darf ja kein absolutglied enthalten.

das muss man doch jetzt irgendwie mathematisch darstellen oder hinschreiben können oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jupp sicher, du schreibst erst mal hin, dass deine polynome von der form
sind!
also alle koeffizienten beliebig, nur die 1 muss hinten fest stehen!

und dann stellst du noch eine bedingung, die eben besagt, dass die summe aller koeffizienten [ohne die 1, also die summe aller a_i] gerade sind, vielleicht fällt dir da ja noch eine schöne bedingung ein!

mir fällt da schon eine schöne mathematische formulierung ein, also denk mal ein wenig nach.
die aufgabe an sich gefällt mir gut!
Wink
way Auf diesen Beitrag antworten »

ok,

ich betrachte jetzt nur mal unser q(x).

also dass die summer aller a_i gerade ist, dazu hab ich 3 möglcihkeiten gefunden, ich weiss aber nicht ob man das so mache kann.

bedingung: Ea_i=0, "E" soll hier das Summenzeichen sein.

als zweite möglichkeit:

bedingung: n=0

dritte möglichkeit:

n=2n

kann ich das so machen?

wie gesagt, dass gilt jetzt natürlich nur für q(x), also das polynom wo die 1 nicht dabei ist.

das gesamte polynom ist ja f(x)=q(x)+p(x)

und p(x) ist ja gleich 1.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bedingung: n=0

Zitat:
n=2n

verstehe ich nicht, was ist n?

aber die andere bedingung ist gut: denn es gilt ja 1+1=0, d.h. wenn du gerade oft 1 aufsummierst, landest du bei 0!

mfg jochen
way Auf diesen Beitrag antworten »

n sind die natürlichen zahlen, ich will damit sagen, wenn man n durch 2 teilen kann, dann ist es immer gerade.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst also IN?
aber IN=2IN ist irgendwie eindeutig falsch.....

bleibe bei der ersten Aussage Summe über den a_i=0, die gefällt mir sehr gut!
[a_i sind natürlich die koeffizienten deines kleineren polynoms q(x)]

mfg jochen
way Auf diesen Beitrag antworten »

Hi !

also ich fass dann das nochmal sauber zusammen:

Alle Polynome, die gesucht werden, haben folgende Form.

f(x)=q(x)+p(x)

wobei f(x), q(x) und p(x) Polynome sind.

p(x) muss immer 1 sein, also p(x)=1.

Die Summe aller a_1 von q(x) muss 0 sein, also gerade.

Grüsse...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

der einfachheit halber: f(x)=q(x)+1

und dann ganz wichtig: es muss q(0)=0 sein, d.h. q(x) darf kein absolutglied mehr haben!

sonst hübsch.
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