Erwartungswert-Ungleichung

11.05.2005, 18:16

Poldi

Erwartungswert-Ungleichung

Hallo Ihr Lieben,

ich beiße mir mal wieder die Zähne aus!

@Anirahtak
Deine Hilfe hier hat mich leider doch nicht weitergebracht und ich drehe mich bei meiner Aufgabe ziemlich im Kreis!

Und zwar bei folgendem:

Ich habe gegeben:
$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb N ^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X,Y: \Omega -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ ZVen

Ich soll zeigen, dass
a) $\begin{eqnarray*} E(X\cdot Y)^2 \leq E(X^2) \cdot E(Y^2) \end{eqnarray*}$ .
b) $\begin{eqnarray*} Kov(X, Y)^2 \leq V(X) \cdot V(Y) \end{eqnarray*}$ .

Bei a) weiß ich schon gleich nicht, ob mit dem Linksterm gemeint ist
$\begin{eqnarray*} E((X\cdot Y)^2) \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} (E(X\cdot Y))^2 \end{eqnarray*}$ .
Allerdings komme ich weder mit der einen noch mit der anderen Interpretation weiter, weil ich so gar keine Umformungsmöglichkeit für diesen Linksterm sehe. Die einzige Ungleichung aus meinem Skript führt mich zu $\begin{eqnarray*} V(X)\cdot V(Y) \leq E(X^2) \cdot E(Y^2) \end{eqnarray*}$ , aber dann ist schon wieder Ende, weil ich nicht gezeigt bekomme, dass das Produkt aus den beiden Varianzen größer oder gleich E(XY)² ist.
Bei b) habe ich versucht die Ungleichung aus b) in die aus a) zu überführen, aber dabei komme ich nur soweit:

$\begin{eqnarray*} Kov (X,Y)^ 2 \leq V(X) \cdot V(Y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [E(XY) - E(X)E(Y)]^ 2 \leq [E(X^ 2)-(E(X))^ 2] \cdot [E(Y^ 2) - (E(Y))^ 2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (E(XY))^2 - 2 E(XY)E(X)E(Y) + (E(X)E(Y))^ 2 \leq E(X^ 2)E(Y^ 2)-E(X^ 2)(E(Y))^ 2 - (E(X))^ 2E(Y^ 2) + (E(X))^ 2(E(Y))^ 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (E(XY))^2 - 2 E(XY)E(X)E(Y) \leq E(X^ 2)E(Y^ 2)-E(X^ 2)(E(Y))^ 2 - (E(X))^ 2E(Y^ 2) \end{eqnarray*}$

Und hier verließen sie mich dann... Irgendwie sieht es ja schon ganz gut aus, finde ich, weil der jeweils erste Summand ja genau richtig ist, aber was mach ich bloß mit den anderen Summanden ?????

Für sachdienliche Hinweise, die zur Lösung der Aufgabe führen, ist eine Belohnung in Höhe von 100000 Dankeschöns ausgesetzt ...

Gruß
Poldi

11.05.2005, 19:11

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Widmen wir uns mal zunächst dem schwierigeren Teil, Aufgabe a). Diese Ungleichung ist auch bekannt unter dem Namen Cauchy-Schwarzsche Ungleichung und kann so bewiesen werden:

Für alle reellen Zahlen a,b gilt

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \mathbb{E}(aX-bY)^2 = a^2\mathbb{E}(X^2)+b^2\mathbb{E}(Y^2)-2ab\mathbb{E}(XY) \end{eqnarray*}$

Und jetzt musst du nur noch speziell $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\mathbb{E}(Y^2)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\pm\sqrt{\mathbb{E}(X^2)} \end{eqnarray*}$ einsetzen und etwas umformen...

Und zum einfacheren Teil b):

Einfach nur $\begin{eqnarray*} X^*=X-\mathbb{E}~X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y^*=Y-\mathbb{E}~Y \end{eqnarray*}$ in a) einsetzen, fertig.

11.05.2005, 22:23

Poldi

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Lieber Arthur Dent,

die 100000 Dankeschöns sind Dein!!! Was wäre ich bloß ohne Euch Mathe-Genies....

Von Deinem Ansatz ausgehend ist das Einsetzen und Umformen sogar für mich ein Kinderspiel und so bekomme ich die a) jetzt natürlich leicht hin.
Wie Du auf $\begin{eqnarray*} 0 \leq E(aX - bY)^ 2 \end{eqnarray*}$ als Ansatz kommst, wird mir wohl ewig ein Geheimnis bleiben, aber ich würde zumindest gern noch verstehen, warum diese Ungleichung gilt: Ich finde in meinem Skript den Satz $\begin{eqnarray*} \mid E(X) \mid \leq E(\mid X \mid ) \end{eqnarray*}$ (und der leuchtet mir sogar ein!). Sehe ich das richtig, dass man Deinen Ansatz im Prinzip aus dieser Ungleichung folgern kann???

Bei der b) ist mir jetzt ziemlich peinlich, dass ich das nicht selbst gesehen habe... Ist ja reichlich simpel, aber mir fehlt halt noch das "mathematische Auge" für solche Sachen. Naja, ich versuch's weiter ...

Wie immer TAUSEND (sorry: 100000) DANK für die Hilfe

Gruß
Poldi

11.05.2005, 23:02

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Zitat:

Original von Poldi
Wie Du auf $\begin{eqnarray*} 0 \leq E(aX - bY)^ 2 \end{eqnarray*}$ als Ansatz kommst, wird mir wohl ewig ein Geheimnis bleiben, aber ich würde zumindest gern noch verstehen, warum diese Ungleichung gilt

Viel einfacher, als du vielleicht denkst:
$\begin{eqnarray*} (aX - bY)^ 2 \end{eqnarray*}$ ist als Quadrat (!!!) einer reellen Zufallsgröße auf alle Fälle nichtnegativ, also muss auch der Erwartungswert davon nichtnegativ sein!

Und wegen der Beweisidee: Die hatte ich noch vom Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung in Erinnerung - diese zwar in der diskreten Form

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n x_ny_n\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^n x_n^2\right) \cdot \left(\sum_{k=1}^n y_n^2\right) \end{eqnarray*}$ ,

aber das macht im Grunde genommen keinen Unterschied. Ist also nicht auf meinem Mist gewachsen. Augenzwinkern