Periodische Stammfunktion einer periodischen Funktion

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11.05.2005, 18:38	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Periodische Stammfunktion einer periodischen Funktion Hallo zusammen, ich habe eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ , die 1-periodisch ist, d.h. $\begin{eqnarray} f(t) = f(t + 1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Nun soll ich angeben, unter welcher Bedingung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine ebenfalls 1-periodische Stammfunktion besitzt. Ich hätte ja spontan behauptet, dass für meine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gelten muss: $\begin{eqnarray} f(t) = -f(t + \frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ . Aber die ebenso spontane Begründung kam mir nicht. Vielleicht ist ja auch meine aufgestellte Behauptung falsch. Kann mir jemand helfen? Danke im Voraus, Stefan
11.05.2005, 18:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Bedingung vermute ich $\begin{eqnarray} \int_0^1~f(t)~\mathrm{d}t \ = \ 0 \end{eqnarray}$
11.05.2005, 18:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau dann sind alle Stammfunktionen 1-periodisch, wenn irgendeine Stammfunktion 1-periodisch ist. Du brauchst also nur eine einzige Stammfunktion betrachten. Da f stetig ist, besitzt sie nach dem Hauptsatz eine Stammfunktion, z.B. $\begin{eqnarray} F(x)=\int_0^x~f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ Jetzt untersuche doch diese Stammfunktion F mal auf 1-Periodizität! Dann erhältst du eine (wie ich finde, relativ schwache) Bedingung.
12.05.2005, 18:14	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für den Ansatz. Leider sehe ich da jetzt nicht so leicht, wie ich des Teil auf 1-periodizität untersuchen kann... Ich wäre für einen weitergehenden Tipp sehr dankbar. MfG Matze
12.05.2005, 18:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein "weitergehender" Tipp ist der folgende: Nimm dir Leopolds Bedingung her und zeige: 1) Erfüllt eine Funktion f diese Bedingung, dann ist jede ihrer Stammfunktionen periodisch. 2) Erfüllt f diese Bedingung nicht, dann ist keine der Stammfunktionen periodisch. Und damit ist dann gezeigt, dass Leopolds Bedingung notwendig und hinreichend für die 1-Periodizität der Stammfunktion ist. Natürlich nur dann, wenn wir voraussetzen, dass f auf jedem endlichen Intervall riemann-integrierbar ist. EDIT: Ach, f ist ja als stetig vorausgesetzt. Dann hat sich der letzte Satz mit der Riemann-Integrierbrkeit erledigt.
12.05.2005, 18:54	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Thx für die Hilfe! Hab da jetzt mal bisserl rumgerudert, komme aber nur zu folgendem Ergebnis: $\begin{eqnarray} \int_0^1{f(t)dt} = 0 = \int_0^1{f(t-1)dt} = \int_1^2{f(s)ds} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s = t + 1 \end{eqnarray}$ und daraus folgt dann $\begin{eqnarray} \int_0^1{f(t)dt} = \int_1^2{f(t)dt} = \int_2^3{f(t)dt} = ... = 0 \end{eqnarray}$ leider hab ich damit ja noch keine Periodizität... Was ist hier also zu tun? Hab leider net so viel Ahnung von Integralrechnung, wir haben des Thema erst neu angefangen. MfG Matze
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12.05.2005, 19:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach es doch, wie MSS vorgeschlagen hat, mit der Stammfunktion $\begin{eqnarray} F(x)=\int\limits_0^x f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ Für die Periodizität musst du nachweisen $\begin{eqnarray} F(x+1)=F(x) \end{eqnarray}$ für alle x. Also betrachte mal die Differenz $\begin{eqnarray} F(x+1)-F(x) = \int\limits_x^{x+1} f(t)\,\mathrm{d}t = \int\limits_x^m f(t)\,\mathrm{d}t+\int\limits_m^{x+1} f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ . Dabei soll m diejenige ganze Zahl sein, für die $\begin{eqnarray} x\leq m<x+1 \end{eqnarray}$ gilt. Und jetzt musst du nur noch in beiden Teilintegralen geeignet substituieren...
12.05.2005, 19:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Hinweis von MSS geht es. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist, kann jede Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} F(x) = C + \int_0^x~f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ mit einer geeigneten Konstanten $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ geschrieben werden. Und jetzt berechne einmal $\begin{eqnarray} F(s+1)-F(s) \end{eqnarray}$ unter der in den vorigen Beiträgen besprochenen Voraussetzung an $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Und noch ein Tip: Was folgt aus $\begin{eqnarray} \int_0^1~f(t)~\mathrm{d}t = 0 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \int_s^{s+1}~f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ ? (Mache dir das zunächst an einer sinusähnlichen Funktion klar.)
12.05.2005, 19:46	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Thx Leute für die Hilfe! Ich hab mir jetzt mal überlegt: $\begin{eqnarray} F(x+1) - F(x) = \int_x^{x+1}{f(t)dt} = \int_x^m{f(t)dt} + \int_m^{x+1}{f(t)dt} = \int_{x-m}^0{f(t)dt} + \int_0^{x+1-m}{f(t)dt} \end{eqnarray}$ nun substituiere ich mit $\begin{eqnarray} s = \frac{-t}{x-m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u = \frac{t}{x+1-m} \end{eqnarray}$ um die Grenzen auf 0 und 1 bzw -1 und 0 zu bekommen, es folgt also: $\begin{eqnarray} \int_{x-m}^0{f(t)dt} + \int_0^{x+1-m}{f(t)dt} \\ = \int_{-1}^0{f(s)(m-x)ds} + \int_0^1{f(u)(x+1-m)du} \\ = (m-x) \int_{-1}^0{f(s)ds} + (x+1-m) \int_0^1{f(u)du} = 0 \end{eqnarray}$ daraus folgt dann: $\begin{eqnarray} F(x+1) = F(x) \end{eqnarray}$ also ist F(x) 1-periodisch. Stimmt der Beweis so? Hat noch einer nen Tipp für die Rückrichtung? MfG Matze
12.05.2005, 21:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso der Aufwand mit der Substitution? Es geht doch auch so. Sei $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ wieder diejenige ganze Zahl mit $\begin{eqnarray} x \leq m < x+1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} F(x+1) - F(x) \ = \ \int_x^{x+1}~f(t)~\mathrm{d}t \ = \ \int_{x-m}^{x+1-m}~f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \int_{x-m}^0~f(t)~\mathrm{d}t \ + \ \int_0^{x+1-m}~f(t)~\mathrm{d}t \ + \ \int_{x+1-m}^1~f(t)~\mathrm{d}t \ - \int_{x+1-m}^1~f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ Hier heben sich das erste und das vierte Integral wegen der Periodizität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gegenseitig weg, und das zweite und dritte Integral kann man zusammenfassen. Es folgt: $\begin{eqnarray} F(x+1)- F(x) \ = \ \int_0^1~f(t)~\mathrm{d}t \ = \ 0 \end{eqnarray}$ Und hier einmal ein Beispiel. Das Bild zeigt den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit der Periode $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x) = 140x^6-360x^5+300x^4-80x^3 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0 \leq x < 1 \end{eqnarray}$ (blau) sowie (in rot) den Graphen der Stammfunktion $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{4} + \int_0^x~f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$
16.05.2005, 18:29	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Thx für die Hilfe! So ist der Beweis in der Tat um ein vielfaches einfacher. Ich hoffe aber mal, dass ich mit meiner etwas längeren Version dennoch die volle Punktzahl bekomme. (Die andere Richtung (also wenn f diese Bedinung nicht erfüllt), habe ich dann auch noch kürzer hinbekommen, ging nur irgendwie Abends nimmer, da hab ich den Wald vor lauter Bäumen nimmer gesehen.) Wie gesagt: Bigbig THX

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