Äquivalenzbeweis

03.01.2008, 15:45

Dixie

Äquivalenzbeweis

Hallo,
ich hab zunächst nur ne Verstädinsfrage...

es sei A ungleich {} eine teilmenge des vektorraums V über K . man zeige die äquivalenz der beiden folgenden aussagen:

(i) es gib einen UVR U von V und ein a aus A, so dass A=a+U= {a+u:u aus U} ist.

(ii) für alle a_1,.., a_k aus A und alle a_1,..., a_k aus K mit Summe über k und j=1 [a_j] =1 gilt: Summe über k und j=1 [a_j*a_j] aus A.

ich muss als über a_j = a+u_j auf die letzte Summennotation kommen?

Danke.

03.01.2008, 15:50

tmo

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also die erste aussage kann ich noch entziffern, aber bei der zweiten aussage solltest du den formeleditor benutzen.

vor allem wie kann $\begin{eqnarray*} a_1,\dotsc,a_k \in A \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig $\begin{eqnarray*} a_1,\dotsc,a_k \in K \end{eqnarray*}$ gelten?

03.01.2008, 16:04

Dixie

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nochmal

für alle a_1,...,a_k \in A un für alle a_1,...,a_k \in K mit \sum_{j=1}^k~a_j = 1 gilt: \sum_{j=1}^k~a_ja_j \in A

hoffe, dass klappt jetzt....

ach ja... ich hab die aufgabe genau so abgetippt.... ich weiß nicht warum es gleichzeitig gilt...

03.01.2008, 16:04

Dixie

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ok hat nicht geklappt.....

03.01.2008, 16:08

system-agent

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du musst das in

code:
1:	[latex] nun die formel [\latex]

setzen, dann kommts gut

in deinem fall ergibt sich:

für alle $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_k \in A \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_k \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^k~a_j = 1 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^k~a_ja_j \in A \end{eqnarray*}$

nur dann noch einmal die gleich frage: deine $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ 's bezeichnen einmal vektoren und einmal skalare aus dem körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , das scheint mir relativ witzlos...

03.01.2008, 16:23

tmo

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ich nehme an, das hier ist gemeint:

für alle $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_k \in A \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} b_1,...,b_k \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^k~b_j = 1 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^k~b_ja_j \in A \end{eqnarray*}$

der beweis dass, aus (i) die aussage (ii) folgt, basiert darauf, dass sich mit (i) als vorraussetzung jedes $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a + u_j \end{eqnarray*}$ ausdrücken lässt, wie du schon richtig angesetzt hast.

03.01.2008, 17:19

Dixie

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ok ich hab es jetzt!

ich danke für eue Hilfe und euer Verständins... smile

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