Untergruppe - Seite 2 |
| 12.05.2005, 19:51 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 12.05.2005, 19:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das hilft! |
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| 12.05.2005, 19:58 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
REICHT DAS EINFACH NICHT WENN ICH 1 UND 2 ZEIGE??? sonst ist das kompliziert |
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| 12.05.2005, 19:59 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was willst du denn sonst noch zeigen? mfg jochen |
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| 12.05.2005, 20:03 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sehe ich das richtig:also 1) zeige U nicht leer...2)a,b element aus U so ist aucha*b^-1 element aus U wenn ich das zeige dann ist U eine Untergruppe von G das reicht???mehr nicht oder |
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| 12.05.2005, 20:04 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du verstehst die aufgabe nicht! du sollst doch die ÄQUIVALENZ zeigen von Aussage A: U ist eine Untegruppe und Aussage B: 1)2) gelten richtig??! zeige dafür: aus A folgt B und aus B folgt A |
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| 12.05.2005, 20:10 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt das muss ich zeigen...aber kannst du mir ein wenig helfen? |
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| 12.05.2005, 20:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab ich doch schon 
wir zeigen zunächst: U Untergruppe => 1)2) gelten du hast bereits: 1) gilt, denn U muss als gruppe e enthalten fehlt für DIESE richtung noch 2) für 2:
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| 12.05.2005, 20:18 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
willst du mir damit sagen das für 2 reicht es das was du zitiert hast |
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| 12.05.2005, 20:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm, was will ich dir sonst damit sagen? a,b liegen in U frage 1) liegt b^-1 in U? warum? dann frage 2) liegt ab^-1 in U? warum? |
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| 12.05.2005, 20:25 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das finde ich aber super von dir dass mir die fragen stellst 
also:a,b liegen ja in U...das heisst zu jedem element aus U sprich a und b gibt es ein inverses..dass heisst a^-1 und b^1 liegen auch in U..so liegt auch das produkt von a*b^-1 in U...so richtig? |
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| 12.05.2005, 20:27 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zunächst mal: richtig, b^-1 liegt in U, weil U gegen die inversion abgeschlossen ist 
aber warum liegt dann ab^-1 in U? die begründung hat noch nicht ganz klick gemacht bei mir! |
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| 12.05.2005, 20:29 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich denke:weil "a" ja in U liegt un "b^-1" inverses element von "b" ist so liegt das produkt von denen auch in U?? |
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| 12.05.2005, 20:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, weil U abgeschlossen ist bzgl. seiner verknüpfung damit wäre also schon mal diese richtung gezeigt fehlt noch die andere aus 1)2) gilt => U untergruppe gruppenaxiome nachweisen, assoziativität ist schon klar mfg jochen |
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| 12.05.2005, 20:54 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gruppenaxiome sind ja 1) ASSOZIATIVITÄT(ist klar) 2)ea=ae=a 3)zu jedem a aus G gibt es es a^-1 aus G mit a^- 1 *a=a*a^-1=e |
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| 12.05.2005, 20:57 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jo dann fang mal an..... zeige, dass das neutrale element drinliegt verwende dafür, dass U nichtleer ist, also ein element a enthält. damit enthält es a und a (!) und regel 2 wird wirksam..... danach ist es auch recht leicht zz. das das inverse für jedes element a enthalten ist |
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| 12.05.2005, 21:06 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich mach mal einen anfang:U muss al gruppe a und e enthalten...so gibt es ein e aus U mit ea=ae=a ?? |
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| 13.05.2005, 00:03 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
öhm woher weißt du das mit e? wie schon gesagt: fang an mit, dass U nichtleer ist, denn das ist gegeben (1.) das heißt es gibt ein unbekanntes element a zeige dann mit a und 2) das irgendwie e drin liegt. wie? |
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| 14.05.2005, 23:31 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo....also habe ein wenig nach gerechnet und folgendes raus...bitte korrigiere mich wenn was falsch ist... 1)assoziativ,da sie schon auf G assoziativ ist. 2)Wegen der ertsen Forderung gibt es ein Element a in U.Nach der zweiten Forderung ist dann auch a^-1 in U,und aus der dritten Forderung ergibt sich,dass damit auch a*a^-1=e in U liegt.. Daher liegt das neutrale Element von G in U,und dies wirkt naürlich auch in U als neutrales Element.... reicht das oder fehlt da noch was??? gruß |
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| 15.05.2005, 00:38 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Schluss in 2) ist nicht ganz korrekt. Du sagst: Ist a in U, dann auch a^-1. Das ist so nicht ganz korrekt. Vielmehr muss man sagen: 2) Sind a und b in U, dann auch a*b^-1. U ist nicht-leer, enthalte also ein Element x. Setze a = b = x, dann gilt nach Forderung 2, dass x*x^-1 = e in U enthalten ist. (Dafür muss aber nicht zwangsläufig HIER schon x^-1 in U enthalten sein.) Mit der Existenz von e kann man dann die Inversen herbei argumentieren: Sei a in U, dann ist wegen e auch e*a^-1 = a^-1 in U. Damit hast du auch die Existenz und Eindeutigkeit der Inversen Elemente begründet. |
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| 15.05.2005, 16:33 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi zusammen ich roll´ das thema nochmal von vorne auf und hoffe, daß mir niemand den kopf dafür abreißt. also aufgabenstellung war: sei G ein gruppe und H "teilmengensymbol" G eine teilmenge. zeigen sie: H ist genau dann eine untergruppe von G, wenn gilt: 1. H 2. sind a,b H, so ist auch H hierzu meine gedanken: wenn G eine beliebige gruppe sein sollte, so ist H != { } nicht genug um zu behaupten, daß H eine untergruppe von G sei. bsp: G=(, *) , H = {2,3}. H != { } ist erfüllt, trotzdem ist H keine untergruppe, da die gruppenaxiome verletzt werden. ich nehme deshalb an, daß es sich um eine spezielle gruppe handelt. mein vorschlag: G = ({1},*) die gruppenaxiome sind erfüllt, somit (H teilmenge von G) und (H != { }) ==> H = G H und G sind somit identisch, deshalb ist H eine Gruppe, weil G auch eine ist 2. ist dann ein einzeiler: = 1*== 1 , 1 H |
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| 15.05.2005, 18:19 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kannst du nicht machen! das obige gilt für alle untergruppen von allen obergruppen! deshalb zeigst du ja später auch (egal wie deine gruppe, bzw. die teilmenge aussieht) einfach nur noch die beiden bedingungen (untergruppenbedingungen), wenn du zeigen willst, dass etwas eine untergruppe ist. |
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| 15.05.2005, 18:33 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und was ist dann mit meinem konkreten beispiel ? H = ({2,3},*) ist wohl keine untergruppe von (Z,*). H ist nicht leer, und 2*3^-1 ist ebenfalls kein element von H wenn das für alle untergruppen sämtlicher obergruppen gilt, wieso habe ich dann ein gegenbeispiel ? edit: scheinst aber doch recht zu haben...wiki sagt das gleiche |
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| 15.05.2005, 18:44 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da stehst doch rot auf bunt: keine untergruppe UND eine der beiden bedingungen ist nicht erfüllt. passt doch! |
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| 15.05.2005, 18:48 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ups...hab´ den denkfehler gefunden. 1. und 2. sind keine teilaufgaben sondern zwei hinreichende kriterien für das vorhandensein einer untergruppe. peinlich peinlich.... dann werd ich die 23 nochmal machen müssen 
zumindest weiß ich jetzt, was eine triviale untergruppe ist
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| 15.05.2005, 18:54 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es gibt 2 Aussagen die eine aussage (:=A) sowohl bedinung 1) als auch bedingung 2) gelten die andere Aussage (:=B) es liegt eine Untergruppe vor zu zeigen nun: A <=> B dafür musst du (und auch snooper, wenn sie denn noch interessiert ist) 2 richtungen zeigen: A=>B B=>A eigentlich kann man sich mit dem ganzen thread schon das meiste zusammensuchen! ist aber nicht schwer, also wag dich mal ran! mfg jochen |
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| 15.05.2005, 19:46 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bin alles nocheinmal durchgegangen, stoße aber an einer stelle auf wiederstand 
und zwar am ende der argumentation von " 1. und 2. gelten ==> H ist untergruppe: es existiert ein element a in H. soweit klar. sei a=b somit nach forderung 2 ==> a element H ==> a*a^-1 element H a*a^-1 ist neutrales element. damit ist die existenz des neutralen elmentes gesichert. und an dieser stelle hackt es. wie kann ich von der existenz des neutralen elementes auf die des inversen schließen ? und noch eine frage hinterher: muß sich jedes element einer gruppe als verknüpfung anderer elemente darstellen lassen ? |
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| 15.05.2005, 19:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du hast nun also, dass e in H existieren muss. ich sage dir noch mal 2) x,y in H => xy^-1 in H und regel 2 gilt! sei nun a in H, du weißt auch e ist in H wie musst du nun x,y oben wählen, damit du folgern kannst das a^-1 in H liegt? |
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| 15.05.2005, 20:01 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
x = e; y = a. THANKS |
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| 15.05.2005, 20:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jawohl, und das war dann schon die richtung A=>B, denn assozioativität übeträgt sich natürlich auf jede teilmenge! B=>A ist klar? oder kann man dir da auch noch helfen? ansonsten: gern geschehen. mfg jochen |
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| 15.05.2005, 20:24 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
andere richtung ist klar. aber etwas anders beschäftigt mich: das axiom der abgeschlossenheit. wie kriegt man dieses gezeigt ? gehört schließlich auch zu den gruppenaxiomen... |
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| 15.05.2005, 20:42 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du hast: a,b in H, dann liegt auch jeweils das inverse drin, also insbesondere b^-1 ab liegt dann auch in H, denn a*[b^-1]^-1=ab liegt nach definition drin |
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| 15.05.2005, 20:48 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja klar 
nochmals danke eine sache noch: ist die multiplikation einer 2x2 matrix mit ihrer transponierten kommutativ ? |
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| 15.05.2005, 21:29 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
auch wenns nicht ins thema passt kriegst trotzdem mal eine antwort das kannst du selbst nachrechnen! setze eine beliebige 2x2 matrix (einträge z.b. a,b,c,d) an und rechne nach! mfg jochen ps: nein
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| 15.05.2005, 21:47 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
passt doch zum thema untergruppen: folgende aufgabenstellung: sei G={A : =E(einheitsmatrix)} zeigen sie : G ist eine Untergruppe von mein prof meinte, als erstes mal zeigen, daß G eine Teilmenge von GL2(R) ist. das bekomme ich irgendwie nicht in den griff. Abgeschlossenheit und Neutrales Element stehen, mit dem inversen tu´ ich mir ebenfalls schwer. meine idee war, dass A^t das inverse element ist, dafür müsste ich es aber von beiden seiten dranmultiplizieren können. hab´ jetzt eine weile damit gespielt, komm aber nicht auf den grünen zweig... kann es denn in diesem speziellen fall eine andere matrix als A^t geben, die die einheitsmatrix erzeugt ? PS: seele ist bereits verkauft, kannst aber die reste haben 
trotzdem coole page
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| 15.05.2005, 23:50 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hat sich erledigt. die nuss ist geknackt 
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| 16.05.2005, 01:52 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay prima, willst noch deine lösung der vollständigkeit halber posten? ansonsten würde ich ein paar sachen noch sagen. der witz mit der komutativität ist natürlich, dass das bei manchen matrizen geht, nämlich bei deinen z.b. A(transponiert) ist natürlich das Inverse zu A. aber mehr mal nicht von mir grad, vielleicht von dir? mfg jochen ps: noch reaktionen von snooper? |
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| 16.05.2005, 19:57 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also so richtig???du meinst ich soll dir alles villständig posten mache ich gerne... |
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| 16.05.2005, 20:00 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mh, kommt da noch ein edit nach? wäre auf jeden fall schönm (übersicht!), wenn du das hier noch mal alles schön ordentlich posten könntest. steht ja eigentlich alles schon irgendwo hier im thread! mfg jochen |
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| 16.05.2005, 21:36 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
H ist eine Untergruppe von G ó1)H ungleich leere Menge 2)für a,b element aus H ist auch ab^-1 element aus H wir zeigen zunächst: U Untergruppe => 1)2) gelten 1)gilt denn U muss als Gruppe e enthalten,daher nicht leer. 2)U selbst Gruppe,d.h. Inverse liegen drin,es ist gegen Verknüpfung abgeschlossen.b^-1 liegt in U,weil U gegen Inversion abgeschlossen ist.ab^-1. ab^-1 liegt in U,weil U abgeschlossen ist bzgl. seiner Verknüpfung. So jetzt zeigen wir die andere Richting:aus 1)2) gilt=>U Untergruppe 1)assoziativ,da sie schon auf G assoz. war 2) Sind a und b in U, dann auch a*b^-1. U ist nicht-leer, enthalte also ein Element x. Setze a = b = x, dann gilt nach Forderung 2, dass x*x^-1 = e in U enthalten ist. (Dafür muss aber nicht zwangsläufig HIER schon x^-1 in U enthalten sein.) Mit der Existenz von e kann man dann die Inversen herbei argumentieren: Sei a in U, dann ist wegen e auch e*a^-1 = a^-1 in U. Fertig so okay?? |
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