Untergruppe

11.05.2005, 21:04

Snooper

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Untergruppe

Hallo zusammen...sollte für eine Untergruppen aufgabe beweisen:

1) dass U ungleich leer ist
2)Sind a.b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U,so ist auch a* $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U.

Für den zweiten Teil habe ich schon eine Lösung,weiss aber nicht ob es richti ist,also ich selbst bin davon überzeugt.Ist U eine Untergruppe von G, dann erfüllt sie wegen der Abgeschlossenheit und der Existenz der Inversen natürlich das Kriterium. Sei nun U eine nichtleere Teilmenge von G, die das Kriterium erfüllt. Dann liegt wegen a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ H beliebig nach dem Kriterium auch a* $\begin{eqnarray*} a^-1 \end{eqnarray*}$ =e das neutrale Element in U. Und somit für beliebige b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U wegen e* $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ auch alle Inverse von Elementen aus U in U. Da U eine Teilmenge von G ist gilt die Assoziativität der Verknüpfung natürlich auch in U. Bleibt nur noch die Abgeschlossenheit von U bzgl. der Verknüpfung zu zeigen. Wie wir schon sahen, liegn mit zwei beliebigen Elementen,a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U auch a, $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und somit nach dem Kriterium schließlicha*b in U. Also erfüllt U die Gruppendefinition.

wie kann ich dennzeigen dass U nicht leer ist..indem ich zeige dass in U die eins liegt?

11.05.2005, 21:54

JochenX

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hmmm, was du da schreibst klingt nicht nach einer konkreten aufgabe.

diese zu zeigenden kriterien (1 und 2) solltest du einfach als gegeben hinnehmen.
wie das konkret zu zeigen ist, hängt von der gruppe und der entsprechenden teilmenge ab!

11.05.2005, 22:03

Snooper

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also so fängt die aufgabe an:Sei G eine Gruppe und U C G eine Teilmenge.Zeigen Sie:U ist genau dann eine Untergruppe von G,wenn gilt:

1. und 2. habe ich oben stehen...

11.05.2005, 22:05

JochenX

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du weißt, dass du hier eine äquivalenz zeigen musst, also beide richtungen?

klar: wenn U untergruppe, dann muss e (neutralelement) in U enthalten sein

11.05.2005, 22:07

Snooper

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soll ich dann zeigen: erstens: Q*A=B und Q*B=A???ist das hier mit Äquivalenz gemeint?

11.05.2005, 22:08

JochenX

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Zitat:

Original von Snooper
soll ich dann zeigen: erstens: Q*A=B und Q*B=A???ist das hier mit Äquivalenz gemeint?

falscher thread? bringst du deine themen durcheinander!?

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11.05.2005, 22:12

Snooper

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joo danke

smile

...aber da zeige ich doch schon alles oder nicht?was fehlt denn da noch?

11.05.2005, 22:13

JochenX

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snooper ordne deine gedanken:
was hat das mit den matrizen aus dem anderen thread zu tun?

du sollst HIER zeigen:
U Untergruppe <=> 1)2)... gilt

zeige:
1) 2) gilt => U Untergruppe
und in einem weiteren schritt (leicht)
U Untergruppe => 1) 2) gilt

11.05.2005, 22:20

Snooper

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klar damit es eine untergruppe ist muss es ja 1) und 2)erfüllen...nur war das falsch meine begründung?

11.05.2005, 22:22

JochenX

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Zitat:

soll ich dann zeigen: erstens: Q*A=B und Q*B=A???ist das hier mit Äquivalenz gemeint?

wo kommen Q und A und B her?

11.05.2005, 22:27

Snooper

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was genau meinst du?habe dich nicht verstanden

11.05.2005, 22:30

JochenX

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RE: Untergruppe

Zitat:

Original von Snooper
Hallo zusammen...sollte für eine Untergruppen aufgabe beweisen:

1) dass U ungleich leer ist
2)Sind a.b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U,so ist auch a* $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U.
[.......]
Bleibt nur noch die Abgeschlossenheit von U bzgl. der Verknüpfung zu zeigen. Wie wir schon sahen, liegn mit zwei beliebigen Elementen,a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U auch a, $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und somit nach dem Kriterium schließlicha*b in U. Also erfüllt U die Gruppendefinition.

wie kann ich dennzeigen dass U nicht leer ist..indem ich zeige dass in U die eins liegt?

wie passt dieser post mit dem unteren zusammen

Zitat:

soll ich dann zeigen: erstens: Q*A=B und Q*B=A???ist das hier mit Äquivalenz gemeint?

ist das eine aufgabe?

11.05.2005, 22:32

Snooper

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RE: Untergruppe
sorry bleibe mal bei einem thread sonst komme ich durcheinander..danke mir fällt das nicht auf.

11.05.2005, 22:36

JochenX

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okay

für diesen beweis:
"U Untergruppe => 1) 2) gilt"
kannst du auf jeden fall verwenden, dass eine gruppe ein neutrales element haben muss

11.05.2005, 22:40

Snooper

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aha..also U nicht leer weil das neutrale element in U liegt.dass wäre dann die eins? e*a=a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U reicht das

11.05.2005, 22:41

JochenX

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"eins", "neutralelement"

jede gruppe braucht mindestens 1 element, das neutrale element e
{e} selbst ist mit einer veknüpfung eine gruppe

11.05.2005, 22:52

Snooper

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okay also eins ist dann bewiesen nicht wahr da braucht man ja niocht grossartig was zu zeigen ...

bei 2: a,b element aus U so liegt ab^-1 in U??habe ich das nicht oben gezeigt loed??siehe meine erste frage

11.05.2005, 22:54

JochenX

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bitte konkreter:
gerade ist deine voraussetzung, dass U untergruppe ist? daraus willst du zeigen, dass 1) 2) gelten?
oder ist deine voraussetzung gerade, dass die regeln 1 und 2 gelten und daraus willst du U Untergruppe zeigen?

11.05.2005, 22:59

Snooper

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ich muss ja zeigen dass regeln 1 und zwei gelten...wenn ich gezeigt habe dass U nicht leer ist..dan bleibtmir doch nur noch 2)zu zeigen oder nicht?wenn ja wie gehe ich hier vor?

11.05.2005, 23:03

JochenX

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also gegeben: U untegruppe?

na dann muss e in U liegen, also muss U nicht leer sein.
fertig!

mfg und gute nacht
jochen

11.05.2005, 23:05

Snooper

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ja super das habe ich auch schon stehen und wie zeige ich die zweite??

12.05.2005, 10:17

JochenX

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was verstehst du unter "die zweite"?

wenn du fragen stellst, dann bitte konkreter!

12.05.2005, 17:57

Snooper

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hallo

smile

..also dann weiss ich ja dass U nicht leer ist das habe ich ja schon gezeigt..aber 2) muss ich ja zeigen, a $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U liegt....das meinte ich..

12.05.2005, 18:19

JochenX

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ich will doch wissen, was du gerade als gegeben ansiehst!
dass U untergruppe ist?

na dann weißt du: U selbst gruppe, das heißt inverse liegen drin, es ist gegen verknüpfung abgeschlossen, dass sollte schon reichen!

12.05.2005, 18:32

Snooper

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ja aber ich muss doch zeigen U ist eine Untergruppe von G<=> 1)U $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ leere menge 2) für a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U ist a $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U.....da muss ich diese Äquivalenz zeigen...oder nicht

12.05.2005, 18:43

JochenX

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WAS WILLST DU?
drücke dich klarer aus, sonst kann ich dir nicht helfen!

das du für eine äquivalenz => und <= zeigen musst (in 2 beweisen) habe ich dir oben schon gesagt!

12.05.2005, 18:46

Snooper

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also ehrlich ich kenne nur a* $\begin{eqnarray*} a^-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U

nur a* $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U ist das das gleiche ..ich meine ob $\begin{eqnarray*} b^-1 \end{eqnarray*}$ inverse von a ist?

12.05.2005, 18:51

JochenX

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b^-1 ist das inverse zu b

12.05.2005, 18:54

Snooper

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ja das meine ich wie kann ich das nun zeigen ich kenne das nur mit a* $\begin{eqnarray*} a^-1 \end{eqnarray*}$

12.05.2005, 18:58

JochenX

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also snooper, ich mache dir einen vorschlag:
wenn du weite hilfe haben willst, dann schreibst su hier mal GENAU hin, wa du gerade alles GEGEBEN hast;
dann noch genau, was du ZEIGEN willst

das ratespiel, was will sie grad machen? habe ich grad satt
du musst mir schon genau sagen, worum es geht!

12.05.2005, 19:06

Snooper

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also meine aufgabe kennst du ja...ich muss halt zeigen, dass H genau dann eine Untergruppe von G ist wenn gilt:

1a) H ungleich leere Menge
1b) Sínd a,b elemente aus H so ist auch ab^-1 element aus H....

mir geht es nur darum wie ich 1b zeigen soll???verstehst du mich immer noch nicht LOed

12.05.2005, 19:08

JochenX

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ich will wissen, welche richtung du gerade zeigen willst!

du musst doch für eine äquivalenz A<=>B sowohl A=>B als auch A<=B zeigen.

welchen teil gehst du also gerade an?

12.05.2005, 19:09

Snooper

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ich gehe gerade von B=>A die richtung

12.05.2005, 19:12

JochenX

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wenn du mir jetzt noch sagst, welche von beiden aussagen (U Untegruppe; bzw. regeln 1)2) gelten) A ist, welche B, dann sind wir fast richtig.

sehe ich richtig: du hast gerade gegeben, dass U eine Untergruppe ist.
DAMIT willst du also zeigen, dass 1) 2) gelten.
dafür fehlt dir noch: aus a,b, in U folgt: ab^-1 liegt in U

habe ich das jetzt endlich richtig verstanden?

12.05.2005, 19:19

Snooper

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ja regel 1 ist A regel B ist 2 so habe ich mir das überlegt.also nicht leer habe ich geziegt dann muss ich jetzt nich zeigen, dass a*b^-1 in U liegt..richtig?

12.05.2005, 19:22

JochenX

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nein, du denkst ganz falsch!

du musst nicht 1) <=> 2) zeigen!!

1) und 2) sind erfüllt <-- das ganze ist eine deiner aussagen
U untergruppe <-- das ist die andere aussage

diese beiden aussagen sollen äquivalent sein!

12.05.2005, 19:27

Snooper

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also das was ich am anfang stehen hatte das ist richtig nicht wahr??

wenn ja dann sollte ich doch jetzt nur andersrum zeigen.erste aussage führt zu zweiten aussage und andersrum ne?

12.05.2005, 19:29

JochenX

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ich sags noch mal

1) aussage: U ist nichtleer
2) aussage: a,b in U => ab^-1 auch in U

da musst du nicht zeigen 1) => 2) oder ähnliches!

12.05.2005, 19:45

Snooper

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ich verstehe dich schon!

ich frage dich nur ob ich aussage 2 beweisen muss??das a*b^-1 wirklich in U liegt?

12.05.2005, 19:47

JochenX

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wenn du ausgehst von der aussage: U ist eine untegruppe

und du sollst zeigen, dass dann 1) und 2) gelten, dann musst du natürlich acuh 2 zeigen!
verwende dafür eben, dass U selbst eien gruppe ist.

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