Invertierbare Matrix

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Snooper Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbare Matrix
Ich habe eine matrix A gegeben:

ich soll begründen ,dass Ainvertierbar ist.kann ich da zeigen:
A*=*A=E..reicht das>???


gruß
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wie sieht A denn aus?

wenn du eine matrix (ich nenne sie mal vorlaut B) findest, so dass du durch nachrechnen A*B=E zeigen kannst, dann reicht das, aber ohne algorithmus wird das nicht leicht werden.

stichwort: gaußalgorithmus


ansonsten leichter: kennst du determinanten?
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also die aufgabe komplett lautet:

Sei A= und B=

a)Bestimmen Sie eine invertierbare Mtarix Q mit Q=Q*A=B.
b)Begründen Sie mit b,dass A invertierbar ist.
c) Berechnen Sie A^-1


klar kenne die determinanten....ich weiss auch wie man eine inverse berechnet
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Q=Q*A=B

Q ist nicht Q*A
bitte genauer!

Zitat:
b)Begründen Sie mit b,dass A invertierbar ist.

originell, teilaufgabe b) soll mit teilaufgabe b) begründet werden?

bitte genauer!


c) sollte dann ja kein problem sein!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also a stimmt tippfehler.Q mit Q*A=B

und bei b steht Begründen Sie(mit b und der Vorlesung),dass A invertierbar ist. ich denke mal ich soll mit b zeigen dass A invertierbar ist.Da dachte ich mir zu zeigen,was ich oben als Frage gestellte hatte.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hast du a gelöst?

ich verstehe b) nun
du sollst das mit B (invetierbar und großes B) und dem determinantensatz beweisen....
 
 
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

nein a habe ich noch nicht gelöst bin dabei...ist Q die einheitsmatrix??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

kann denn Q die einehitsmatrix sein?

gilt denn E*A=B?
wohl kaum!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also habe es ausgerechnet wenn ich die einheitmatrix mit A multipliziere kommt nicht B raus?da wusste ich nicht was ich da sonst mache..da muss Q eine andere invertierbare matrix sein...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt E*A=A, nicht B!

du könntest schummeln!
berechne erst A^-1

was muss dann Q sein, damit Q*A=B ist (tipp es hat was mit A^-1 und B zu tun)
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt loed..das hatte cih auch vor aber ich wusste nicht ob es vernünftig ist...also wenn ich die inverse matrix habe dann weiss ich ja was Q ist oder nicht??soll ich das dann einfach einsetzen und somit a gelöst??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn dann Q konkret?
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also Q ist ja dann A^-1 halt die inverse matrix A
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

dann wäer allerdings Q*A=E, es soll aber Q*A=B gelten!

aber bebenke, dass Q ein Produkt aus 2 bestimmten Matrizen sein kann....
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also habe da ein wenig rum gerechnet...kann man auch rechnen A*B=Q???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wieso denn A*B=Q?

machen wir die probe: es soll Q*A=B sein....
aber A*B*A<>B!
nein, so geht es nicht......


Q*A=B, mulitpliziere doch mal A^-1 (dessen existenz du natürlich noch nicht wissen "kannst" laut aufgabe" von rechts an....
was ist dann Q?
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du A^-1*Q*A=B?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
mulitpliziere doch mal A^-1 (dessen existenz du natürlich noch nicht wissen "kannst" laut aufgabe" von rechts an....

nicht von links, und außerdem auf beiden gleichungsseiten!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also Q*A*A^-1=B*A^-1
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

also und Q*A*A^-1 ist ja =Q, denn A*A^-1 ist B

also ist dein Q=B*A^-1....


da du A^-1 eigentlich erst in teil c) bestimmen müsstest, wäre es etwas geschummelt, es hier für a) zu verwenden......

hmmmm.
du könntest also auch allgemeinen ansatz für Q machen und ein LGS mit 16 (!) unbekannten aufstellen....

da würde ich fast eher schummeln, also A^-1 berechnen, daraus dann Q.

Q angeben, zeigen, dass Q invertierbar ist (det berechnen!)
dann kannst du mit dem determinantenmultiplikationsatz argumentieren, dass A invertierbar sein muss.
dann A^-1 berechnen... (hast ja schon gemacht)
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also du mienst ich soll wirklich erst A^-1 erst berechnen und dann daraus Q???

stimmt dass eine matrix invertierbar ist kann man ja zeigen wenn die determinante ungleich null ist..

aber da hätte ich noch eine frage:inverse bestimmen...das ist ja aufwendig nur rechnerei..gibts da was anderes was leichter geht..wie war das mit determinanten geht das und wie?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also du mienst ich soll wirklich erst A^-1 erst berechnen und dann daraus Q???

das ist eine geschummelte möglichkeit, ja, das geht problemlos, das wollen sie aber nicht.
mir fällt aber keine alternative ein, außer eine 4x4 matrix als ansatz (a1 bis a16) zu erstellen und dann für jedes matrizenfeld des produktes eine gleichung (LGS 16 gleichungen, 16 variablen) zu erstellen und das wäre schlimm arbeit!

inversion mit gauß!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

A und B Matrizen sind bereits gegeben und ich soll eine invertierbare Matrix Q mit Q*A=B bestimmen.....
also soll ich da jetzt eine matrix aufstellen mit 16 unbekannten???was soll ich denn da machen???bitte ein tip geht das denn auch anders?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich doch oben schon gesagt
oft genug
berechne Q als Q=BA^-1

mfg jochen



ps: und wiesio der neue thread weiß ich auch nicht
wo ich mich hier so um die aufgabe gekümmert habe unglücklich
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

sorry loed ich dachte wenn man lange nichts über diesem thred schreibt dann hakt sich das von elleine ab..naja ich versuche es jetzt...soll ich einfach die inverse A was ich bereits raus habe einsetzen=??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Q=BA^-1

was verstehst du daran nicht?

dann gilt Q*A=BA^-1*A=B, also genau, was du willst.

ausführliche diskussionen, ob das im sinne der aufgabe ist, hatten wir oben bereits.
das will ich nicht wieder aufwärmen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja stimmt du meintest ich sollte erst schummelnsmile aber der prof will das nicht sehen..nichjt wahr...ist ja klar...dann nehme ich einfach eine matrix für Q mit unbekannten...geht das?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, tja, du hast hoffentlich verstanden, warum das "geschummelt" wäre?
ich hoffe, du hast den rest der aufgaben mit der reihenfolge der beweisführung verstanden?


naja, du könntest wie gesagt einen ansatz für Q (16 unbekannte) machen und dann für jede komponente von Q*A=B (16 feldeinträge für B) eine gleichung aufstellen....

aber dabei viel spaß.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber reicht das denn wenn ich es aufstelle???dann habe ich nix festes? den rest der aufgabe habe ich raus ich meine b und c...
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja stimmt du meinst ja ein LGS..aber dass ist wirklich sau arbeitsmile

loed ich meine das ist bestimmt nicht verlangt???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

tjaaaaa, ich habe sonst keine idee.

Q*A=B du findest Q normalerweise eben durch anmultiplizieren vom inversen zu A von rechts.
das willst du nicht machen, und es wäre tatsächlich nicht ganz passend zu der aufgabenstellung [ich würde es dennoch tun!]

alternativ LGS, das magst du auch nicht.

und wenn ich noch öfters sage, dass ich keine idee sonst habe, nachfragen bringt also nichts mehr ein!
wenn sonst jemand eine idee hat, wird er sie schon posten...
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

danke loed...hoffentlcih hat jemand noch eine idee...aber werde dein vorschöag zu betracht ziehen..
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

mir fällt aber keine alternative ein, außer eine 4x4 matrix als ansatz (a1 bis a16) zu erstellen und dann für jedes matrizenfeld des produktes eine gleichung (LGS 16 gleichungen, 16 variablen) zu erstellen und das wäre schlimm arbeit!


Also jetzt übertreibt mal nicht - so schlimm ist es auch nicht. Mit ein wenig Kopfrechnen bin ich auf



gekommen. Snooper nicht so viel jammern, einfach ranklotzen!Freude
jimbo Auf diesen Beitrag antworten »

hab mir mal den thread und vorallem die fragen von snooper durchgelesen und ich glaub das problem könnte nicht unbedingt die aufgabe sein sondern das snooper noch nicht ganz das prinzip und die rechenregeln von matrizen verstanden hat. kann mich da natürlich auch täuschen. solltest du aber noch allgemeine fragen zu matrizen haben dann stell die erst weil sobald du die weisst bzw. verstanden hast ist die aufgabe eigentlich sehr einfach. weil wenn du 100%ig wüsstest was eine inverse matrix,einheitsmatrix und ein gleichungsystem von matrizen ist, wären paar fragen überflüssig gewesen. aber genau dazu ist ja das forum da....
also alle frage die du hast, egal wie blöd.... her damit....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jovi
Zitat:

mir fällt aber keine alternative ein, außer eine 4x4 matrix als ansatz (a1 bis a16) zu erstellen und dann für jedes matrizenfeld des produktes eine gleichung (LGS 16 gleichungen, 16 variablen) zu erstellen und das wäre schlimm arbeit!


Also jetzt übertreibt mal nicht - so schlimm ist es auch nicht. Mit ein wenig Kopfrechnen bin ich auf



gekommen. Snooper nicht so viel jammern, einfach ranklotzen!Freude


mit LGS-Ansat, jovi? oder wie?
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
mit LGS-Ansat, jovi? oder wie?


ja schon, aber es sind ja nur 4 extrem einfache LGS mit je 4 Unbekannten
mit ganz einfachen Zahlen (0,1,2) die noch dazu schon in Matrixform vorliegen,
also ist es einfach im Kopf die Spalten zu addieren, subtrahieren.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also ist es einfach im Kopf die Spalten zu addieren, subtrahieren.[/quote]


was meinst du damit...rest ist mir klar???

gruß
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Also was ich eigentlich damit sagen will ist, dass es nur schwer aussieht,
aber nicht wirklich kompliziert ist.
Ich hab' es natürlich nicht komplett im Kopf gerechnet, war dazu gestern Nacht viel zu müde, hab aber nur ein paar einfache Sachen wie c=-d, b=c, d=0, ... auf ein Schmierzettel notiert - mehr war einfach nicht nötig. Probiers doch einfach mal aus.
Beispiel 1.Zeile:



Und jetzt ganz genau die Matrix anschauen und die Nuller nutzen ...
sofort fällt in der zweiten Spalte auf b=c
dann (1.) minus (4.) Spalte c=-d
also auch b = -c
mit der (1.) Spalte folgt daraus a = 1
und daraus mit der (3.) Spalte b=0
also auch c=0 und d=0
1. LGS gelöst, das ist echt einfach.
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

hi allerseits.

also in der ganzen aufgabe geht es um folgende idee:

eine elementare zeilenunformung (e.z.) lässt sich auch als eine matrixmultiplikation formulieren. eine vielzahl von e.z. ist also nichts anderes als eine multiplikation mit einer matrix.

man kann, um bei der aufgabe zu bleiben, die matrix B kreieren, indem man die matrix A mit Q multipliziert. es gilt:

Q*A=B

der anfang ist folgender:

(A|1), 1=einheitsmatrix

wenn man die matrix A durch e.z. auf B bringt, erscheint:

(B|?)

B ist aber nix anderes als Q*A also:

(Q*A|?)

was steht aber rechts, wo vorher die einheitsmatrix stand ? die elementarumformungen wurden auf beiden seiten durchgeführt, also:

(Q*A|Q*1)

oder anders:

(B|Q)

also anfangen, wie bei der berechnung einer inversen, A auf die form von B bringen, und Q erscheint auf der rechten seite.

Q ist invertierbar, weil man sie durch die rückwärts durchgeführten schritte wieder auf 1 bringen kann. es gibt noch einen anderen grund, doch dafür muss man die matrix sehen...A ist aus dem gleichen grund invertierbar...

um A^-1 zu berechnen, macht man einfach an der letzten stelle so lange weiter, bis man das teil da hat, wo man´s haben will.
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