Beweis: Es gibt keine Funktion, die nur in Q stetig ist

03.03.2004, 00:14	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Es gibt keine Funktion, die nur in Q stetig ist Einmal der Anfang aus dem ersten Thread: Die Aufgabe steht im Buch Analysis I von Amann und Escher, Birkhäuser Verlag. Aufgabe V.4.5 Der Text: Zeige: Es gibt keine Funktion von R nach R, die in jedem rationalen Punkt stetig und in jedem irrationalen Punkt unstetig ist. Hinweis: Es sei f eine solche Funktion. man beachte $\begin{align} D _k :=\{x \in \calR ; \ \omega _f \(x\)<\frac{1}{k}\} \end{align}$ für $\begin{align} k\in \calN^{\times} \end{align}$ , wobei $\begin{align} \omega _f \end{align}$ der Stetigkeitsmodul von Aufgabe III.1.17 ist. Gemäß Aufgabe III.2.20 ist $\begin{align} D _k \end{align}$ offen. Außerdem ist Q Teilmenge von $\begin{align} D _k \end{align}$ und der Durchschnitt aller $\begin{align} D _k \end{align}$ ist gleich Q, was wegen V.4.4(b) nicht möglich ist. Zum Stetigkeitsmodul (Aufgabe III.1.17): Es seien X und Y metrische Räume und f: X -> Y. Dann heißt die Funktion $\begin{align} \omega _f \ \(x,\cdot \)\to\calR; \ \ \epsilon \to \sup_{y,z \in B\(x,\epsilon \)} d\(f\(y\),f\(z\)\) \end{align}$ Stetigkeitsmodul von f in $\begin{align} x\in X \end{align}$ . Dabei bezeichnt B(x, e) den offenen Ball um x mit Radius e. Wir setzen $\begin{align} \omega _f \(x\):=\inf_{\epsilon>0} \omega _f \(x,\epsilon\) \end{align}$ Man zeige, dass f genau dann stetig in x ist, falls $\begin{align} \omega _f \(x\)=0 \end{align}$
03.03.2004, 00:21	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Es gibt keine Funktion, die nur in Q stetig ist Für unseren Fall ist also $\begin{align} \omega _f \ \(x,\cdot \)\to\calR; \ \ \epsilon \to \sup_{y,z \in B\(x,\epsilon \)} \|f\(y\)-f\(z\)\| \end{align}$ und $\begin{align} \omega _f \(x\):=\inf_{\epsilon>0} \sup_{y,z \in B\(x,\epsilon \)} \|f\(y\)-f\(z\)\| \end{align}$ scheint mir sowas wie die "Sprunghöhe" zu sein. Wenn das so ist, dann ist mir die zu zeigende Äquivalenz von "w_f(x)=0" und "f stetig in x" relativ klar. Weiter, bitte
03.03.2004, 00:45	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe III.2.20. Es seien X und Y metrische Räume und f: X -> Y. Man verifiziere, dass $\begin{align} A _n := \{ x \in X; \ \omega _f \geq \frac{1}{n}\} \end{align}$ für jedes $\begin{align} n \in \calN ^\times \end{align}$ abgeschlossen ist. Frage: Wie kann ich im Formeleditor das große Durchschnittszeichen erhalten? Ich werde es öfters brauchen...
03.03.2004, 14:13	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! \bigcup_{a}^{b}{c} ergibt $\begin{align} \bigcup_{a}^{b}{c} \end{align}$ \bigcap_{a}^{b}{c} ergibt $\begin{align} \bigcap_{a}^{b}{c} \end{align}$ Gruß Anirahtak.
03.03.2004, 15:43	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
@Anirahtak Danke für die Antwort. Aufgabe V.4.4. Es seien $\begin{align} D _k,\ \ k \in \calN \end{align}$ offene und dichte Teilmengen von R und $\begin{align} D:= \bigcap_{k}{D _k} \end{align}$ . Dann gilt: (a) D ist dicht in R. (b) D ist überabzählbar. Hinweise: (a) Man setze $\begin{align} F _k:= \bigcap_{l=0}^{k}{D _k} \end{align}$ Dann ist $\begin{align} F _k \end{align}$ offen und dicht, und $\begin{align} F _0 \supset F_1 \supset ... \end{align}$ Es seien $\begin{align} k \in \calR \end{align}$ und r>0. Dann gibt es $\begin{align} x _0 \in F _0 \end{align}$ und $\begin{align} r _0 >0 \end{align}$ mit $\begin{align} \bar B (x _0, r_0) \ \subset \ B(x,r) \cap F _0 \end{align}$ Induktiv wähle man nun $\begin{align} x _k \in F _k \end{align}$ und $\begin{align} r _k \in \calR \end{align}$ mit $\begin{align} \bar B (x _k+1, r_k+1) \ \subset \ B(x_k,r_k) \cap F _k \end{align}$ für $\begin{align} k \in \calN \end{align}$ . Schließlich beachte man Aufgabe III.3.4. (b) Falls D abzählbar wäre, gäbe es $\begin{align} x_m \in \calR \end{align}$ mit $\begin{align} D=\{x_m; \ m \in \calN \} \end{align}$ Man beachte $\begin{align} \bigcap _m { \{ x _m \}^c } \ \cap \ \bigcap _k {D _k} \end{align}$
03.03.2004, 15:46	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der letzte Teil: Aufgabe III.3.4. Ein System M von Teilmengen einer nichtleeren Menge besitzt die enliche Durchschnittseigenschaft, wenn jedes endliche Teilsystem von M einen nichtleeren Durchschnitt hat. Man beweise, dass folgende Aufgaben äquivalent sind: (1) X ist ein kompakter metrischer Raum (2) Jedes System A von abgeschlossenen Teilmengen von X, das die endliche Durchschnittseigenschaft besitzt, hat einen nichtleeren Durchschnitt.
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