kubische spline interpolation

12.05.2005, 14:17

Rac00n

kubische spline interpolation

so nun versuche ich mein problem nochmal richtig zu erklären.
ich habe 4 punkte gegeben und will durch diese 4 Punkte mit hilfe der kubischen Spline Interpolation ein Polynom berechnen . kann mir das jemand erklären (idioten gerecht bitte ) . also wie man die drei funktionen berechnet und wie man auf dasend polynom kommt
wäre sehr dankbar !

12.05.2005, 14:55

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Idioten sollten keine Spline-Interpolation betreiben. smile

Für alle anderen ist
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
schon mal ein guter Startpunkt.

EDIT: Smilie vergessen und jetzt eingefügt.

12.05.2005, 17:44

Rac00n

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-missverständniss-

12.05.2005, 18:51

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RE: kubische spline interpolation
EDIT: Missverständnis geklärt.

12.05.2005, 19:04

Rac00n

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hmmm so hab ich das gar nich gesehen ...sry ... aber du musst zugeben das man das schnell missverstehen kann!!! tut mich leid Hammer

aber ich bin nich beleidigend geworden..das kannste mir nich vorhalten!!!
ich habe nur meine meinung gesagt ...also jedenfalls sollte es nich beleidigend rüberkommen ..aber wie schon gesagt ..sry und danke für die seite ..aber mir fehlt immer nochne bedingung ...*hinsetzundgrübel* verwirrt

12.05.2005, 19:09

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Schwamm drüber, und ich werde in Zukunft an die Smilies denken. Augenzwinkern

Aber wirklich, die genannte Seite ist ganz gut, und in dieser Ausführlichkeit könnte ich das so schnell hier nicht darlegen. Wenn du Fragen hast, kannst du die dann natürlich gern noch hier stellen.

12.05.2005, 19:15

Rac00n

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ok danke ... aber diesmal werd ich mich erstmal n bissl rein arbeiten bevor ich fragen stelle ... dann kann ich diese auch präzisser formulieren ...
nur eins vorweg .. hab ich das jetzt richtig verstanden das ich bei 4 zu interpolierenden Punkten 12 bedingungen brauch um die 3 polynome zu errechnen ??

12.05.2005, 19:18

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Ja, 12 Bedingungen: Jedes der drei kubischen Polynome besitzt ja vier Koeffizienten.

12.05.2005, 19:52

Rac00n

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okay danke ... wie soll ich denn das p1´(x1)=p2´(x1) verstehen ...
also ich versteh das ich es gleichsetzen muss weil ich die übergänge mit einer möglichst niedriger krümmung haben will . aber wie hat das denn auszusehen ? alsoin einer formel ... und wie kann ich das denn einbringen in meine berechnung ?
ich hab dann ja quasi

3ax1^2+2bx1+c=3ax2^3+2bx+c

oder ?

13.05.2005, 08:25

klarsoweit

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Du wirfst da die Indizes bzw. Variablenbezeichnungen durcheinander. Also wenn, dann so:
$\begin{eqnarray*} 3a_1 \cdot {x_1}^2 + 2b_1 \cdot x_1 + c_1 = 3a_2 \cdot {x_1}^2 + 2b_2 \cdot x_1 + c_2 \end{eqnarray*}$

13.05.2005, 09:51

Rac00n

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also hab ich für das erste zwischenpolynom folgende gleichungen

F1(x0)=x0
f1(x1)=x1
f1´´(x0)=0
f1´(x1)=f´(x2)
nur wie kann ich denn die letzte gleichung in das gleichungssystem einsetzen ???

sry das ich das nich mit formeleditor eintrage da das bei mir irgendwie nich richtig funzt .

13.05.2005, 10:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rac00n
F1(x0)=x0
f1(x1)=x1
f1´´(x0)=0
f1´(x1)=f´(x2)

Und wieder wirfst da die Indizes bzw. Variablenbezeichnungen durcheinander. Vermutlich heißt es so:
f1(x0)=y0
f1(x1)=y1
f1'(x1)=f2'(x1)
Schreibe doch mal f1'(x) und f2'(x) komplett hin und setze da x1 ein.

13.05.2005, 10:14

Rac00n

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könnt ihr mir bitte den einen schritt kurz einmal vorrechnen ich steig da einfach nich durch ...
die werte sind
x0 = -2
y0= 2
x1=-1
y1=3
wäre sehr dankbar danach rechne ich auch alleine weiter

13.05.2005, 11:32

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Ich übernehme mal die Bezeichnungen von
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
also Spline

$\begin{eqnarray*} S_i(x)=a_i(x-x_i)^3+b_i(x-x_i)^2+c_i(x-x_i)+d_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_i\leq x\leq x_{i+1} \end{eqnarray*}$

(Wenn du unbedingt willst, kannst du das am Ende ja ausmultiplizieren, um ein kubisches Polynom in "Normaldarstellung" zu bekommen.)

Das Paar (x0,y0)=(-2,2) führt zur Bedingung $\begin{eqnarray*} S_0(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} S_0(-2)=2 \end{eqnarray*}$ bzw. eingesetzt

$\begin{eqnarray*} 2=d_0 \end{eqnarray*}$

Das ist der linke Randpunkt des ersten Intervalls. Für den rechten Randpunkt muss $\begin{eqnarray*} S_0(x_1)=y_1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} S_0(-1)=3 \end{eqnarray*}$ bzw. eingesetzt

$\begin{eqnarray*} 3=a_0\cdot 1^3+b_0\cdot 1^2+c_0\cdot 1+d_0=a_0+b_0+c_0+d_0 \end{eqnarray*}$

Alle anderen Bedingungen ergeben sich durch die Stetigkeitsforderungen an die erste und zweite Ableitung an den Intervall-Übergangsstellen - aber das wird auf der Website doch alles beschrieben. Dort werden auch alle $\begin{eqnarray*} a_i,c_i \end{eqnarray*}$ allein auf die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ zurückgeführt, und die ergeben sich dann schließlich als Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer Dreiecksmatrix als Koeffizientenmatrix, siehe fast ganz unten auf der Website. Und wenn du das GLS gelöst hast, kennst du die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ und gewinnst daraus rückwärts dann die $\begin{eqnarray*} a_i,c_i \end{eqnarray*}$ , und die $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ kennst du ja sowieso durch die Bedingungen $\begin{eqnarray*} S_i(x_i)=d_i=y_i \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Hast du denn schon mal den netten Online-Rechner ganz unten auf
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
mit deinem konkreten Beispiel probiert? Da weißt du dann wenigstens, was rauskommen muss - auch wenn du es natürlich noch verstehen musst.

13.05.2005, 15:10

Rac00n

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jo hab das schon mit meinem beispiel ausgerechnet und weiss auch was rauskommt ...nur verstehe h die koeffizienten matrice nicht ... mal schaun ob ich jetzt da durchsteige ...

was macht ihre eigentlich beruflich das ihr mathe ässig so gut seit ?

14.05.2005, 15:23

Rac00n

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Zitat:

Das ist der linke Randpunkt des ersten Intervalls. Für den rechten Randpunkt muss , also bzw. eingesetzt

das is eigentlich nich das was ich gefragt hatte ...
ich wollte wissen wie die Bedingung f1`(x1)=f2`(x1) aussehen soll.
das was du mir gezeigt hast war auch noch in dem sinne falsch das es -1 und nicht 1 war und somit hätten wir das ergebnis
3=-a+b-c oder ???

nun gut ... hoffe das meine frage verstanden wird ... ich weiss nur nich wie ichs anders erklären kann

14.05.2005, 15:47

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Zitat:

Original von Rac00n
das was du mir gezeigt hast war auch noch in dem sinne falsch das es -1 und nicht 1 war

Nochmal langsam: Für $\begin{eqnarray*} x_0=-2 \end{eqnarray*}$ hat das erste Splinepolynom die Darstellung

$\begin{eqnarray*} S_0(x)=a_0(x-x_0)^3+b_0(x-x_0)^2+c_0(x-x_0)+d_0=a_0(x+2)^3+b_0(x+2)^2+c_0(x+2)+d_0 \end{eqnarray*}$

also ist

$\begin{eqnarray*} S_0(-1)=a_0+b_0+c_0+d_0 \end{eqnarray*}$ .

Und zu den Ableitungen hattest du überhaupt nichts gefragt: Für mich war leider nicht erkennbar, dass du dich auf klarsoweits Beitrag vorher beziehst - das wird mir erst jetzt nach deiner letzten Frage klar.

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