Tschebyschev'sche Ungleichung

12.05.2005, 17:18	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyschev'sche Ungleichung Hallo Ihr Lieben, so langsam bekomme ich hier die Krise, weil schon wieder eine Aufgabe den Zweikampf mit mir gewonnen hat ... Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} P ( \{ \omega \in \Omega \mid \mid X ( \omega) \mid ^q \geq t \}) \leq \frac{E(\mid X \mid ^q)}{t^q} \end{eqnarray}$ , Ich hab versucht die Tschebyschev'sche Ungleichung umzuformen, indem ich 1) $\begin{eqnarray} \mid X( \omega)- E(X) \mid = \mid X( \omega) \mid ^q \end{eqnarray}$ gesetzt habe. 2) $\begin{eqnarray} \mid X( \omega)- E(X) \mid \geq t \end{eqnarray}$ hoch q genommen habe. Beides führt nicht zum Ziel und mehr Ideen habe ich leider nicht. Es scheint mir auch total unlogisch, wie im Rechtsterm der zu zeigenden Ungleichung im Nenner ein hoch q an das t kommen soll, gleichzeitig im Linksterm aber t stehen bleibt!??? Kann mir vielleicht jemand noch mal einen kleinen Schubs geben???!!! Gruß Poldi
12.05.2005, 18:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie sie da steht, ist die Ungleichung i.a. falsch. Vielleicht meinst du ja $\begin{eqnarray} P\left( \left\{ \omega \in \Omega \Bigm\| \left\|X(\omega)\right\|\geq t \right\}\right) \leq \frac{\mathbb{E}(\|X\|^q)}{t^q} \end{eqnarray}$ .
12.05.2005, 18:56	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab's gerade noch mal geprüft: Die Ungleichung steht genau so da, wie ich sie oben aufgeschrieben habe. Ich hatte noch verschwiegen, dass $\begin{eqnarray} E( \mid X \mid^q) < \infty \end{eqnarray}$ gegeben ist und q > 0. Ändert das vielleicht was?? Falls nicht,versuche ich sie zu widerlegen. Ähm, vermutlich dann über ein Gegenbeispiel, oder???
12.05.2005, 18:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ändert gar nichts, und Gegenbeispiele gibt es zuhauf.
12.05.2005, 19:18	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, wenn das so ist, dann sollte es ja sogar mir gelingen eines zu finden. Leider habe ich erst morgen wieder Zeit, danach zu suchen. Ich melde mich dann noch einmal mit meinem Suchergebnis und sage bis dahin erstmal: DANKE!!! für die Hilfe! Gruß Poldi
12.05.2005, 19:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ein kleiner Tipp: Nimm eine symmetrische Zweipunktverteilung, also $\begin{eqnarray} P(X=\pm a)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , da musst du nicht so viel rechnen. Und dann kannst du natürlich noch an a, q und t drehen, bis der Widerspruch da ist.
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13.05.2005, 11:29	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dank Deines Tipps war es nicht sonderlich schwierig ein Gegenbeispiel zu finden, aber mir wäre wohler, Du würdest noch einmal drüber schauen, ob es so stimmt: Ich habe die Verteilung $\begin{eqnarray} P( \{ \omega \in \Omega \mid X( \omega) = 5 \}) = 0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P( \{ \omega \in \Omega \mid X( \omega) = -5 \}) = 0,5 \end{eqnarray}$ gewählt, q = 2 und t = 20 Dann gilt: $\begin{eqnarray} P( \{ \omega \in \Omega \mid \mid X( \omega) \mid ^q \geq t \}) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E( \mid X \mid ^ q) = 25 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \frac{E( \mid X \mid ^ q)} {t^q} = \frac {1} {16} \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} 1 \leq \frac {1} {16} \end{eqnarray}$ mein Widerspruch! Richtig???????????????????????????
13.05.2005, 11:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Im übrigen geht es noch viel einfacher, ist mir auch erst später eingefallen: Du kannst sogar X=5 wählen, also deterministisch, das macht in der ganzen Rechnung fast keinen Unterschied.

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