Mittelwertsatz

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03.01.2008, 20:09	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz Es sei f: R --> R differenzierbar in R. $\begin{eqnarray} f(0)>0 \end{eqnarray}$ und es gebe $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f'(x)>c \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Weiterhin sei $\begin{eqnarray} a:= -\frac{f(0)}{c} \end{eqnarray}$ . Zeigen sie das f in (a,0) genau 1 Nullstelle hat. Folgern sie aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung das $\begin{eqnarray} f(a)<0 \end{eqnarray}$ . Wie kann ich das angehen, kann ich in den Mittelwertsatz die beiden GRenzen a und 0 einsetzen ? $\begin{eqnarray} \exists \xi \in (a,0) : f'(\xi) = \frac{f(a)-f(0)}{a-0} \end{eqnarray}$
03.01.2008, 20:15	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
stelle die gleichung jetzt einfach nach f(a) um und nutze $\begin{eqnarray} f'(x) > c \end{eqnarray}$
03.01.2008, 20:15	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz Also zunächst ist es evtl. lohnenswert sich klarzumachen, dass aus den Voraussetzungen schon (ohne MWS) folgt, dass f genau eine Nullstelle in $\begin{eqnarray} (-\infty,0) \end{eqnarray}$ hat. Es genügt also zu zeigen, dass eine Nullstelle größer als a ist.
03.01.2008, 20:36	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll eben den Mittelwertsatz benutzen. $\begin{eqnarray} f(a) = f'(\xi) (a - 0) +f(0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(a) = f'(\xi) (- \frac{f(0)}{c}) +f(0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(\xi)>c \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} f'(\xi) (- \frac{f(0)}{c}) < -c \end{eqnarray}$ brint mich das weiter ? ich weiß nicht wie ichs anders verwenden kann
03.01.2008, 20:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
schreiben wir das doch mal so: $\begin{eqnarray} f(a) = -f(0) \frac{f'(\xi)}{c} +f(0) =f(0)(1-\frac{f'(\xi)}{c}) \end{eqnarray}$ was weißt du über $\begin{eqnarray} \frac{f'(\xi)}{c} \end{eqnarray}$ ?
03.01.2008, 20:43	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{f'(\xi)}{c} > 1 \end{eqnarray}$ ok jetzt ist schon mal klar dass f(a) < 0
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03.01.2008, 20:46	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja und da f differenzierbar ist, hat f auch welche eigenschaft, welche sichert, dass du einen weiteren satz anwenden kannst, der den beweis abschließt?
03.01.2008, 20:48	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
ja wenn f differenzierbar ist, dann ist f auch stetig Edit: ich versuchs mal obwohl stetigkeit nicht so eine meiner stärken ist Edit2. ah ich brauche wohl den zwischenwertsatz
03.01.2008, 20:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
nach welchem satz schreit es denn immer, wenn es um die existenz einer nullstelle geht? edit: ja, genau den brauchst du
03.01.2008, 21:03	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht es einfach den Satz anzuwenden, weil ich nicht rausfinden konnte ob er mir anzeigt ob es genau 1 Nullstelle dann gibt?
03.01.2008, 21:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
die funktion ist nach vorraussetzung streng monoton steigend. falls du den satz von rolle kennst, kannst du ja auch den noch anwenden, um zu zeigen, dass es keine 2 nullstellen geben kann.
03.01.2008, 21:16	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
ja den satz von Rolle kenn ich, aber sagt der nicht aus, wenn 2 Funktionswerte gleich sind, dass dazwischen ein Extremum liegen muss ? Hier ist ja f(a) ungleich f(0) , wie kann man das dann anwenden ?
03.01.2008, 21:18	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast doch mit dem zwischenwertsatz gezeigt, dass mind. 1 nullstelle existiert. um zu zeigen, dass es genau eine gibt, nimmst du an es gäbe 2 und folgerst daraus mit dem satz von rolle den widerspruch zur vorraussetzung $\begin{eqnarray} f'(x) >c>0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$
03.01.2008, 21:20	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hast mir mal wieder sehr weitergeholfen diese Thematik besser zu verstehen, danke schön

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