Finde ein Element das ein Ideal erzeugt |
| 12.05.2005, 19:00 | Hamilton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Finde ein Element das ein Ideal erzeugt Wie kann ein Ideal aus zwei Elementen bestehen, was sagt mir das?Könnte icch z.B. ein Element finden, das das Ideal (2,3) erzeugt? Gibts da ein System? 
Danke für die tips im Voraus! |
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| 12.05.2005, 19:03 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
magst du uns auch noch verraten, in was für einem ring du dich denn überhaupt bewegst!? |
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| 12.05.2005, 23:31 | Hamilton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Finde ein Element das ein Ideal erzeugt x soll aus Z[i] sein. Z[i]:= {a+bi l a,b Elemente aus Z(ganze Zahlen)}. Z[i] ist eine Teilmenge aus C (Komplexe Zahlen) |
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| 12.05.2005, 23:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann noch zu der schreibweise: was soll das? sind diese beiden elemente die einzigen idealelemente? wohl kaum, sonst wärs ja kein ring... mfg jochen |
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| 13.05.2005, 18:11 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die naheliegenste Interpretation der Schreibweise wäre, das das Ideal von diesen beiden Elementen erzeugt wird. Es gibt einen allgemeinen Satz, das man jedes endlich erzeugte Ideal auch mit einen einzigen Element erzeugen kann (wenn der Ring hinreichend 'nett' ist, ich weiss die genaue Vorraussetzung auch nicht mehr) Dieser Satz soll hier angewendet werden, indem man für ein konkretes endlich erzeugtes Ideal den einzelnen Erzeuger ausrechnet. Das Verfahren läuft über den größten gemeinsamen Teiler, den man mit einem Abstiegsverfahren berechnet. An sich sucht man die Zahl in dem Ideal mit der kleinsten Norm (euklidische Standardnorm), 6+4i hat die kleinere Norm, also ersetzt man 8+5i durch ein Element der Form u=5+8i + k(6+4i) mit k aus Z[i] so das das neue Element eine kleinere Norm als 6+4i hat. Das ist hier zB k=-1, und damit u=-1+4i jetzt wiederholt man den Prozess mit 6+4i und -1+4i nach endlich vielen Schritten kriegt man dann 0 als neues Element, das letzte das man davor hatte, ist der gesuchte Erzeuger wenn ich mich auf meinem Schmierzettel nicht verrechnet habe, ist übrigens 1 der Erzeuger, also das von 5+8i und 6+4i erzeugte Ideal ist ganz Z[i] weil die beiden Erzeuger teilerfremd sind. |
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