Flachpunkte, Terrassenpunkte, Wendepunkte |
| 03.01.2008, 22:26 | _-Alex-_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Flachpunkte, Terrassenpunkte, Wendepunkte ich hab mal eine Frage zu den Flachpunkten. Wir haben atm die Kurvendiskussion in der Schule dran. Wenn es um Terrassenpunkte und Wendepunkte geht, weiß ich wie diese aussehen und wie man sie errechnet. Ich weiß auch wie ich rausbekomme, ob es ein Flachpunkt sein kann. Aber ich weiß nicht wirklich wie diese jetzt aussehen. Wir haben aufgeschrieben, wenn die erste und die zweite Ableitung für einen Wert 0 sind und die dritte Ableitung für diesen Wert nicht, dann liegt ein Terrassenpunkt vor. Ist die erste nicht 0 dann ist es ein Wendepunkt. Und ist die erste nicht 0, aber dafür die zweite und die dritte, liegt ein Flachpunkt vor, aber es sei keine genauere Aussage möglich. Wir haben um einen Flachpunkt zu zeigen eine Gerade genommen. Aber ich habe noch nie einen Graphen von einer Polynomfunktion gesehen, der auf einmal ne Gerade beinhaltet. Könnt ihr mir mal zu den Flachpunkten was erklären - wie die aussehen und so? Weil ich mir diese Graphen immer vorstelle. MfG |
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| 03.01.2008, 23:15 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beschränken wir uns einmal auf Funktionen mit zwei Variablen. Ansonsten würden diese Dinge nur mit Mitteln der höheren Mathematik zu beschreiben sein. Freilich wird in der Umgebung des Flachpunktes nicht plötzlich die Kurve zu einer Geraden! Ähnliches kann nur bei stückweise definierten Funktionen passieren. Vielmehr ist es so, dass die Tangente im Flachpunkt ein besonderes Nahverhältnis zur Kurve hat, also die Kurve sich dort besonders an die Tangente in dem betreffenden Punkt anschmiegt. Flachpunkte liegen vor, wenn dort die 2. Ableitung zu Null wird. Es können auch die höheren Ableitungen Null werden, also diese Nullstelle der 2. Ableitung auch eine mehrfache Nullstelle sein. Ist diese Nullstelle der zweiten Ableitung eine mit gerader Vielfachheit, ändert sich das Krümmungsverhalten nicht, und der Flachpunkt ist ein "echter", gewöhnlicher Flachpunkt oder ein Extremum (wenn bereits die 1. Ableitung Null ist), bei einer Nullstelle (der 2. Abl.) mit ungerader Vielfachheit ändert sich das Krümmungsverhalten und der Flachpunkt ist auch Wendepunkt (grüne Tangente im Beispiel). Der Punkt (-6.5; 6.5) ist ein Wendepunkt (grüne Tangente) und im Punkt (-2; 1) liegt ein "echter" Flachpunkt vor (blaue Tangente), weil sich dort weder ein Extremum noch ein Wendepunkt befindet. In beiden Punkten ist die zweite Ableitung gleich Null, sie sind also Flachpunkte. Im Punkt (-2; -1) ist auch die dritte Ableitung gleich Null. mY+ |
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| 04.01.2008, 00:51 | _-Alex-_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, jetzt weiß ich schon besser bescheid über die Flachpunkte danke. Aber ist vond em roten Graphen die erste Ableitung nicht eine nach oben geöffnete Parabel, von der wiederrum die Ableitung, also die 2te Ableitung von f eine Gerade wäre? Dann gäbe es doch nur eine Nullstelle von der 2ten Ableitung, nicht 2, oder liege ich da jetzt falsch 
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| 04.01.2008, 01:52 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da liegst du definitiv falsch, denn die 2. Ableitung einer Funktion 5. Grades ist vom Grad 3 und kann somit drei verschiedene Nullstellen haben; hier hat sie eine doppelte (bei -2) und eine einfache (bei -6.5) mY+ Übrigens erinnere ich mich, auch einmal gelernt zu haben,, dass es auch Flachpunkte (gemäß anderer Definition) gibt, bei denen eine höhere Ableitung Null ist, also hier die dritte und die vierte. Demgemäß würden sich noch bei x = -5 (3. Abl. = 0) und x = -3.5 (4. Abl. =0) zwei weitere Flachpunkte befinden. Diese passen auch gut in den Graphen. Frage mal deinen Lehrer über seine Ansicht in diesen Fällen. |
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| 04.01.2008, 13:25 | _-Alex-_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dachte es is eine 3ten Grades:P Dann passts natürlich^^ |
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| 05.01.2008, 02:44 | _-Alex-_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn der rote Graph eine Funktion 5ten Grades ist, fehlt da doch noch ein "Knick" wäre es möglich den Graphen insg nochmal zu posten? MfG |
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| 05.01.2008, 13:27 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Graph hat keinen Knick! Das sieht deswegen so aus, weil sich eben im Verlauf einige Flachpunkte befinden!! mY+ |
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| 05.01.2008, 23:17 | _-Alex-_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich dachte iwo wär noch ein Hoch- oder Tiefpunkt, weil so dachte ich halt es ist eine Polynomfunktion 3ten Grades. |
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| 06.01.2008, 01:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Funktion ist eine 5. Grades, das habe ich leider anfangs nicht explizit gesagt. Sorry, wenn das für dich nicht so deutlich herausgekommen sein sollte (im Plot siehst du oben deren Gleichung, 2*x**5 bedeutet 2x^5, usw.). Theoretisch kann eine solche Funktion 4 Extrema und 3 Wendepunkte haben. Hier gibt es - wegen der besonderen Angabe - nur 2 Extrema, 1 Wendepunkt, dafür aber 2 + 2 Flachpunkte (einer davon ist der Wendepunkt und noch einer mit f '' = 0, die anderen beiden mit f ''' = 0 und f '''' = 0). Deswegen sieht der Graph auch so ungewöhnlich aus. mY+ |
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