Beweis, dass Determinante gleich Null

03.01.2008, 23:26	wdfgea	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass Determinante gleich Null Wie beweise ich am einfachsten bzw. welche Verfahren dienen dazu herauszufinden, dass eine Determinante Null ist? Kommt es jetzt noch darauf an welcher Ordnung die Determinante ist!? Folgende habe ich gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 7 & -3 & 0 & 1 \\ 6 & 1 & 0 & -4 \\ 2 & -5 & 0 & 7 \\ 4 & 0 & 0 & 13 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Da wäre noch diese: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Vielen Dank für eure Hilfe...
03.01.2008, 23:43	a.k.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Wenn bei einer m x m Matrix A gilt: rang(A)<m, ist die Determinante det(A)=0. Hier besteht eine Spalte nur aus nullen, folglich muss die Determinante =0 sein. Gruß Alex
03.01.2008, 23:49	wdfgea	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Variante. Oder ist das die Variante für diese Matrix? Gibt es noch weitere Methoden. In meinen Unterlagen kommt der Rang einer Matrix erst im Kapitel nach diesen Aufgaben... Wie ist es mit der unteren!? Danke für die Antwort!!
04.01.2008, 00:09	a.k.	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja. Für mich war das die einfachste Methode bei dieser Matrix, da man auf den ersten Blick gesehen hat, dass die determinante 0 ist. "Wie ist es mit der unteren!?" da würde ich die determinante einfach ausrechnen..ist in diesem fall auch gleich 0. Im allgemeinen ist es ja so: Die Vektoren v1...vm sind genau dann lineaer abhängig, wenn das lgs a1v1+...+amvm=0 auch nichttrivale lösungen besitzt..und ein homogenes lgs besitzt genau dann nichttriviale lösungen, wenn die determinante von einer matrix, die du mit den m vektoren bildest=0 ist. d.h. im Prinzip musst du nur solche Skalare a1..am, die nicht alle 0 sind finden. Dann ist auch automatisch die Determinante 0. wenn du keine findest, ist die determinante der matrix ungleich 0. Gruß Alex
04.01.2008, 00:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn eine Determinante eine Nullzeile enthält, ist ihr Wert automatisch Null, da braucht es nicht einmal die Kenntnis über den Rang. Desgleichen, wenn eine Zeile oder Spalte proportional zu einer anderen Zeile oder Spalte ist, auch dann hat die Determinante den Wert Null. Das folgt aus den Umformungsgesetzen, nach welchen sehr bald wiederum eine Nullzeile entsteht. Dies kannst du bei der zweiten Determinante sehr schnell nachvollziehen (nur die Umformungskriterien beachten): $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \ = \ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} \ = \ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \ldots \end{eqnarray}$ mY+
04.01.2008, 00:40	wdfgea	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind hier die Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile dazu addiert worden, oder um welche Umformungsregeln geht es hier? Danke nochmal!
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04.01.2008, 02:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber hier noch einfacher, sogar ohne Vielfache Die 2. Zeile von der 3., die 1. Zeile von der 2., danach die 2. von der 3. Zeile ... mY+

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