Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert

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13.05.2005, 15:59	Shiva	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert Ich hoff, ich bin hier richtig.... Ich habe die letzte Stochastik-Matheklausur leider voll in den Sand gesetzt und jetzt hat mir mein Lehrer eine Ausarbeitung eines neuen Themas gegeben, die meine Zensur ordentlich aufpeppen kann, wennsn gut wird. Nur leider bin ich ziemlich untalentiert in Mathe, sodass diese Ausarbeitung mehr als eine Herausforderung ist. Bitte, bitte helft mir!!! Hier die Aufgabenstellung: a) Beschreibe in verständlicher und nachvollziehbarer Weise allgemein, was man unter den Begriffen: -Zufallsvariable (Zufallsgröße) -Erwartungswert einer Zufallsvariablen -Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen versteht! b) Erläutere zudem die Anwendung und Bedeutung mit Hilfe jeweils einer Beispielaufgabe (je höher der Schwierigkeitsgrad, desto besser)! Ich bin echt verzweifelt, weil ich das machen muss, aber es nicht so hinbekomme, dass es verständlich ist! Kann mir jemand dabei helfen oder mir eine Internetseite nennen, wo ich das nachschauen kann....bin echt etwas überfordert!! Ich danke jedem zigtausendmal, der mir hilft!!! Ganz lieben Gruß, Shiva
13.05.2005, 16:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Fangen wir einmal mit der Zufallsgröße an. Ich könnte mich jetzt auf einen formalen Standpunkt zurückziehen und sagen, eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist nichts anderes als eine Abbildung des Ergebnisraumes $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Aber das wird dir wahrscheinlich nicht viel helfen. Also am besten ein Beispiel. Nehmen wir eine Schulklasse $\begin{eqnarray} \Omega = \left\{ \text{Bettina,Marc,Patricia,Bernhard,Jürgen,Manuel,Sabine,Nicole,Michael,} \right. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left. \text{Ines,Stefan,Wolfgang,Lorenz,Monika,Melanie,Vera,Tanja,Florian,Stephanie} \right\} \end{eqnarray}$ Betrachten wir $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ als Laplace-Raum. Jeder Schüler geht also mit demselben Gewicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{19} \end{eqnarray}$ in die Betrachtungen ein. Als Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nehmen wir das Alter des Schülers. Das könnte so ausschauen: $\begin{eqnarray} X(\text{Bettina}) = 13 \, , \ X(\text{Marc}) = 13 \, , \ X(\text{Patricia}) = 13 \, , \ X(\text{Bernhard}) = 13 \, , \ X(\text{Jürgen}) = 14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X(\text{Manuel}) = 13 \, , \ X(\text{Sabine}) = 14 \, , \ X(\text{Nicole}) = 13 \, , \ X(\text{Michael}) = 14 \, , \ X(\text{Ines}) = 14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X(\text{Stefan}) = 15 \, , \ X(\text{Wolfgang}) = 14 \, , \ X(\text{Lorenz}) = 14 \, , \ X(\text{Monika}) = 13 \, , \ X(\text{Melanie}) = 15 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X(\text{Vera}) = 14 \, , \ X(\text{Tanja}) = 13 \, , \ X(\text{Florian}) = 13 \, , \ X(\text{Sephanie}) = 13 \end{eqnarray}$ Man sagt: Die Werte der Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sind 13,14,15. Und alle Schüler, die 14 sind, faßt man zu einer Menge zusammen. Symbolisch schreibt man dafür $\begin{eqnarray} \{X=14\} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \{X=14\} \ = \ \left\{ \text{Jürgen,Sabine,Michael,Ines,Wolfgang,Lorenz,Vera} \right\} \end{eqnarray}$ Ganz analog geht das natürlich mit $\begin{eqnarray} \{X=13\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{X=15\} \end{eqnarray}$ . Und was ist nun die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray} \{X=14\} \end{eqnarray}$ ? Da jeder Schüler dieselbe Wahrscheinlichkeit haben soll, ist das $\begin{eqnarray} P(X=14) = \frac{7}{19} \end{eqnarray}$ Und entsprechend berechnet man $\begin{eqnarray} P(X=13) = \frac{10}{19} \, , \ P(X=15) = \frac{2}{19} \end{eqnarray}$ Ganz konkret: Wenn man in einem Hut die Namen aller Schüler auf Zettelchen hat und einmal blind hineingreift, dann ist die Wahrscheinlichkeit, einen 13jährigen zu ziehen, 10/19, einen 14jährigen zu ziehen, 7/19, und einen 15jährigen zu ziehen, 2/19. Und was ist das durchschnittliche Alter der Schüler, der sogenannte Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X \end{eqnarray}$ ? Da hat man zwei Möglichkeiten, das auszurechnen. Man addiert alle Alter und dividiert sie durch 19. Anders ausgedrückt: Man multipliziert jedes Alter mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{19} \end{eqnarray}$ und zählt alles zusammen: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = 13 \cdot \frac{1}{19} + 13 \cdot \frac{1}{19} + \ldots + 14 \cdot \frac{1}{19} + \ldots \approx 13{,}6 \end{eqnarray}$ Abstrakt schreibt sich das so: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = \sum_{\omega \in \Omega}^{}~X(\omega)P(\omega) \end{eqnarray}$ Bequemer ist es aber, weil man ja die 13-, 14- bzw. 15-jährigen bereits zu Mengen zusammengefaßt hat, so zu rechnen: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = 13 \cdot \frac{10}{19} + 14 \cdot \frac{7}{19} + 15 \cdot \frac{2}{19} \approx 13{,}6 \end{eqnarray}$ Und das schreibt man abstrakt so: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = \sum_{k=13}^{15}~k \cdot P(X=k) \end{eqnarray}$
13.05.2005, 17:05	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein kleiner, formaler Einwand: Besser man schreibt $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X = \sum_{\omega \in \Omega}^{}~X(\omega)P(\{\omega\}) \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} P(A) \end{eqnarray}$ gewöhnlich nicht für Elemente von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , sondern für Teilmengen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ erklärt ist.
13.05.2005, 17:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir das längst abgewöhnt, um $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ eine Klammer zu schreiben, ganz in Analogie zu $\begin{eqnarray} P(X=k) \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} P\left(\{X=k\}\right) \end{eqnarray}$ . Die Fachleute wissen sowieso, wie es gemeint ist, und die Nichtfachleute kapieren den Unterschied (meistens) erst gar nicht.
13.05.2005, 17:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Fachleute schreiben noch ganz andere Schludrigkeiten. Aber da wir grad bei Formalismen sind: Es gibt auch "Schulen", die verwenden für Ereignisse $\begin{eqnarray} \{\omega \bigm\| X(\omega)=k\} \end{eqnarray}$ eher die Kurzform $\begin{eqnarray} [X=k] \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \{X=k\} \end{eqnarray}$ , um deutlicher abzugrenzen, dass es um keinerlei X-Mengen geht, was sich als Assoziation ja aufdrängen könnte.
13.05.2005, 18:18	Shiva	Auf diesen Beitrag antworten »
Mensch Leopold, du bist ja unglaublich!! Das wären also jetzt Lösungen für die Zufallsvariablen und den Erwartungswert plus Beispiel, richtig? Kannst du denn noch etwas zu dem letzten Punkt mit der Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen sagen oder ist das da schon mit drin? Vielleicht auch mit Beispiel, du erklärst wirklich sehr gut!! Desto simpler, dest besser Über weitere Hilfeleistungen würde ich mich weiterhin freuen, egal von wem!! Vorallem Beispiele kann ich gut gebrauchen, die zählen ja am meisten in der Ausarbeitung...also, wer noch welche kennt, nur her damit Vielen lieben Dank!!! eure Shiva
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14.05.2005, 01:27	jovi	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch doch mal für Leopolds Beispiel selbst die Varianz und die Standardabweichung auszurechnen. Das hilft dir sicher weiter.
14.05.2005, 13:42	QUAN	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst hier mal reinschaun, sind auch erklärungen zum erwartungswert und varianz.
14.05.2005, 13:43	quan	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=16642

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