Additionstheorem bei Summe von mehr als 2 Sinus-Funktionen

13.05.2005, 17:37

raga.raga

Additionstheorem bei Summe von mehr als 2 Sinus-Funktionen

Hallo Zusammen!

Ich beschäftige mich im Moment mit dem akustischen Phänomen der Schwebung, diese ergibt sich, wenn mehrere Sinustöne, die in ihrer Frequenz nah beieinanderliegen, addiert werden. Dies ergibt eine neue Sinus welle, deren Amplitude jedoch nicht mehr konstant ist. Bei nur 2 zu addierenden Wellen ist diese Modulationfunktion einfach cos(PI*(f2-f1)*t).
(f1, f2 sind die Frequenzen der Ausgangsschwingungen)

Ich suche nun nach einer Formel, mit deren Hilfe ich diese Hüllkurve auch für mehr als 2 Sinuse beschreiben kann. Hierbei ergeben sich nähmlich sehr schnell komplexe (und auch schön anzusehende) periodische Strukturen.

Eigentlich suche ich nur die X-Werten (innerhalb einer Periode) der Maxima bzw. Minima.
Vielleicht lassen sich diese ja anhand von einem Abstraktionmodel leicht errechnen (das versuche ich gerade)?
Eine vollständige Beschreibung der Hüllkurve wäre natürlich schön, aber ich glaube das geht dann schon richtung höhere Mathematik.

Über Lösungsansetze oder Hinweise (oder fertige Formeln :) würde ich mich tierisch freuen.
jan.

13.05.2005, 18:13

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Zitat:

Original von raga.raga
Dies ergibt eine neue Sinus welle, deren Amplitude jedoch nicht mehr konstant ist.

Das ist ein Widerspruch in sich: Eine Sinuswelle hat gleiche Amplituden (im Sinne von lokalen Extremwerten). Was du meinst, ist allenfalls eine periodische Funktion als Superposition mehrerer Sinuswellen.

Im übrigen ist für die Periodizität bei solchen Superpositionen (oder Amplitudenmodulationen, wie immer man es auch nennt) notwendig, dass alle beteiligten Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer festen Frequenz sind - oder anders ausgedrückt: Sämtliche Frequenzen müssen in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen.

Andernfalls hat man keine Periodizität - Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x)+\cos\left(\sqrt{2}x\right) \end{eqnarray*}$

ist nicht periodisch, weil z.B. f(0)=2 ist, der Funktionswert 2 danach oder davor nie wieder erreicht wird!

13.05.2005, 23:58

raga.raga

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist ein Widerspruch in sich: Eine Sinuswelle hat gleiche Amplituden (im Sinne von lokalen Extremwerten). Was du meinst, ist allenfalls eine periodische Funktion als Superposition mehrerer Sinuswellen.

OK, das war wohl etwas schwammig formuliert von mir - da müsst ihr ein bisschen Rücksicht haben mit mir, ich bin Komponist und habe leider weniger Ahnung von Mathe als von Musik Rock

. Im Audio-Jargon nimmt man das mit der Amplitude nich ganz so streng Forum Kloppe

Ich meinte: Der Höreindruck, der ensteht, ist der eines einzelnen Sinustones, der in seiner Lautstärke aber nichtmehr konstant ist (bei einem Frequenzunterschied von 0..16Hz).

Mir geht es hierbei eigentlich um eine ganz banale Addition von Sinusfunktionen.
in der Form:
$\begin{eqnarray*} f(x) = sin(f_1*x)+sin(f_2*x)+sin(f_3*x)+... \end{eqnarray*}$
bzw. brauch ich eigentlich
$\begin{eqnarray*} f(x) = a_1*sin(2\pi *f_1*x + \gamma_1) + a_2*sin(2\pi *f_2*x + \gamma_2) \end{eqnarray*}$

Wenn ich z.B. Sinustöne mit den Frequenzen 300Hz, 301Hz, 301.5 Hz, 301.75Hz, 301.875 Hz addiere (die 300Hz Grundfrequenz sind hierbei beliebig & irrelevant)
bekomme ich folgendes Schaubild:

http://puredata.org/Members/raga/schwebung.png

Hier sieht man aufgrund der Auflösung natürlich nichtmehr die einzelnen "hochfrequenten" Sinusscwingungen:
Genau das will ich auf mathematischem Wege erreichen!

Hiervon will ich die globalen Extremwerte ausrechnen bzw. die Funktion der Superposition (das hab ich in meinem ersten Posting mit Hüllkurve gemeint).

Für Hinweise in welche Richtung ich mich da schlau machen muss (Komplexe Zahlen, vielleicht?) wäre ich schon sehr dankbar !!

14.05.2005, 08:21

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Hier kann man doch deutlich erkennen, was ich oben geschrieben habe:

Der größte gemeinsame Teiler der Frequenzen 300Hz, 301Hz, 301.5 Hz, 301.75Hz und 301.875 Hz ist 0,125Hz, und deshalb ist die Periodenlänge der zugehörigen Superposition gerade das Reziproke von 0,125Hz, also 8 Sekunden.

Was aber eine gemeinsame, auf eine Frequenz bezogene Formel betrifft, wird's schwierig:

So ist z.B. $\begin{eqnarray*} \cos(nx) \end{eqnarray*}$ als Polynom n-ten Grades in $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ darstellbar (Tschebyscheff-Polynome). Angenommen, bei dem obigen Beispiel handelt es sich um 5 Kosinuswellen ohne Phasenverschiebung (also mit Erreichen der Amplitude im Nullpunkt), dann lassen sich die 5 Wellen als Polynome der Grade 2400, 2412, 2414 und 2415 von $\begin{eqnarray*} \cos(2\pi\cdot 0.125~\mathrm{s}^{-1}\cdot t) \end{eqnarray*}$ darstellen. Die Summe ist dann natürlich ein Polynom vom Grad 2415. Aber ob das sinnvoll ist, möchte ich doch stark bezweifeln...

EDIT:

Ach Ok, du willst ja keine Darstellung für die eigentliche Kurve, sondern für das, was du rein aus der optischen Anschauung als "Hüllkurve" bezeichnest. Mathematisch gesehen ist das aber keine Hüllkurve, du willst nur einfach die hohen Frequenzen im Spektrum ausblenden. Dazu später mehr, hier schon mal eine grafische Darstellung der "Amplitudenkurve" für dein Beispiel:

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