Satz von Schwarz

13.05.2005, 18:29

Calvin

Divergenz / Rotation / Satz von Schwarz

Ich bin immer noch dabei, den Satz von Schwarz zu verstehen. Heute geht es um folgendes:

Wir haben bewiesen, dass für ein beliebiges skalares Feld $\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} rot(grad~\phi)=\vec{0} \end{eqnarray*}$ . Außerdem sollte gezeigt werden, dass für ein beliebiges räumliches Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} div(rot~\vec{v})=\vec{0} \end{eqnarray*}$

Der jeweilige Beweis war nicht schwer. Allerdings wurde in beiden Fällen angenommen, dass der Satz von Schwarz für die jeweiligen partiellen Ableitungen gilt. Warum kann man in diesem Fall annehmen, dass Funktionen, an die keinerlei Bedingungen geknüpft sind, die Vorraussetzungen des Satz von Schwarz erfüllen?

Meine Nachfrage wurde mit dem Kommentar beantwortet, dass wir in der Elektrotechnik (unser Hauptfach) nur Funktionen kennenlernen werden, die den Satz von Schwarz erfüllen geschockt

14.05.2005, 11:14

quarague

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damit div(rot(v)) überhaupt sinnvoll definiert ist, muss v mindestens alle zweiten partiellen Ableitungen besitzen
ich glaube man kann aus dem BSP, das Arthur Dent im Thread zum Satz von Schwartz angegeben hat, eine Funktion konstruieren, die 2. partielle Ableitungen hat, aber bei der div(rot(v)) in 0 nicht eindeutig bestimmt ist.
ich glaube der Satz ist mehr so zu verstehen: wenn man div(rot(v)) sinnvoll berechnen kann, ohne irgendwelche Probleme mit Diffbarkeit zu bekommen, dann kommt 0 heraus.

14.05.2005, 12:41

Calvin

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Danke quarague, so ähnlich war meine Vermutung auch. Aber ich konnte es mir alleine nicht verständlich machen, denn

Zitat:

ich glaube der Satz ist mehr so zu verstehen: wenn man div(rot(v)) sinnvoll berechnen kann, ohne irgendwelche Probleme mit Diffbarkeit zu bekommen, dann kommt 0 heraus.

so etwas müßte ja in der Voraussetzung stehen. Da konnte ich aber nichts finden. Ich habe aber vorhin noch einen Satz gefunden, der sagt, dass es tatsächlich dort steht. (zumindest wenn ich es richtig verstanden habe Augenzwinkern

)

Ein stetig differenzierbares Vektorfeld $\begin{eqnarray*} f=\begin{pmatrix}f_1 \\ . \\ . \\ f_p\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf der offenen Menge $\begin{eqnarray*} G\subset \mathbb R^p \end{eqnarray*}$ kann höchstens dann ein Gradientenfeld sein, wenn seine Ableitung symmetrisch ist, wenn also auf G $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_i}{\partial x_k}=\frac{\partial f_k}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ für i,k=1,...,p ist.

Im Beweis wird gezeigt, dass der Satz von Schwarz dann auch gilt.

rot(grad phi) wäre damit auch geklärt, denn die Rotation ist in unseren Unterlagen nur für Vektorfelder definiert.

EDIT

Hm, je mehr ich darüber nachdenke, desto weniger denke ich dass der Satz die Aussage div(rot v)=0 für beliebige Vektorfelder erklärt. Und ich werde immer sicherer, dass die Voraussetzung der stetigen Differenzierbarkeit in dem Satz aus unserer Vorlesung fehlt verwirrt

Verunsicherte Grüße
Calvin

16.05.2005, 09:25

gargyl

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Bei deiner Aufgabe solltest du den Zusammenhang zu E-Technick suchen.

Sprich:

Welcher Unterschied ist zwischen Elektrischem und Magnetischem Feld ??
Wenn ein Skalarfeld (z.B. Temperatur im Raum) gegeben ist, welche Eigenschaften können nicht gegeben sein ?.

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