Ableitungen ! Hilfe !

14.05.2005, 17:29

Fabolous

Ableitungen ! Hilfe !

Die Funktion :

f(x)= x ( ln(x)-1)²

Nach der Produktregel abgeleitet und zusammengefaßt :

f ' (x) = 1 * (ln(x)-1)² + x * 2(ln(x)-1) * 1/X

f ' (x) = 1 + ln(x)

f '' (x) = 1/x

f ''' (x) = - 1/X²

Die sind doch falsch oder ?????? verwirrt

Ist die Nullstelle : x = e

???

Danke

14.05.2005, 17:41

Iion2

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = (ln(x)-1)² + 2(ln(x)-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = (ln(x)-1)*(ln(x)-1)+ 2(ln(x)-1) \end{eqnarray*}$
das ist meiner Meinung nach richtig!

mir ist schleierhaft wie du auf $\begin{eqnarray*} f'(x)= 1 + ln(x) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Ich glaube du hast da falsch vereinfacht!

$\begin{eqnarray*} ln(e)=1 \end{eqnarray*}$ , deshalb sind bei $\begin{eqnarray*} x=e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ meiner Meinung Nullstellen

Schau halt mal im GTR nach Augenzwinkern

14.05.2005, 17:45

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitungen ! Hilfe !

Zitat:

Original von Fabolous
Nach der Produktregel abgeleitet und zusammengefaßt :

f ' (x) = 1 * (ln(x)-1)² + x * 2(ln(x)-1) * 1/X

Diese Zeile stimmt noch. Aber wie du zur nächsten Zeile kommst, ist auch mir ein absolutes Rätsel verwirrt

14.05.2005, 17:52

Fabolous

Auf diesen Beitrag antworten »

jo glaub auch , hab da schon gekürtzt

also f ' (x) = (ln(x)-1)² + 2 (ln(x)-1)

= 2(ln(x)-1)^3

aber die NST x = 0 kann doch karnicht ,aldiweil der Definitionsbereich x > 0 ist !

P.S. GTR ? Wofür steht das Kürzel ?

14.05.2005, 17:57

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Fabolous
f ' (x) = (ln(x)-1)² + 2 (ln(x)-1)

= 2(ln(x)-1)^3

???????? Auf eine einfachere Aufgabe übertragen, steht hier a² + 2a = 2a³. Es ist dir hoffentlich klar, dass das falsch ist.

Die einzige Umformung, die du nach der ersten Zeile noch machen könntest, wäre ln(x)-1 ausklammern. Damit liessen sich die Nullstellen der ersten Ableitung leichter bestimmen. Mehr geht aber nicht.

EDIT

Zitat:

aber die NST x = 0 kann doch karnicht ,aldiweil der Definitionsbereich x > 0 ist !

Richtig erkannt Freude

Die einzige Nullstelle ist also welche?

14.05.2005, 17:59

Iion2

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Hülf! was machst du denn da! Da ist ein "+" dazwischen - so geht es nicht!
Hmmmm - ich weiß nicht wie das geregelt ist: Ein nicht definiertes Produkt mit 0 multipliziert.
Aber:
0*(ln(x)-1)²=0

Ich glaub, dass sehr wohl bei x=0 eine Nullstelle ist.
tip es halt in GTR ein und guck was er für x=0 ausgibt

GTR = grafikfähiger Taschenrechner

14.05.2005, 18:01

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

@lion2

Für x=0 ist die Funktion überhaupt nicht definiert. Deshalb kann bei x=0 keine Nullstelle sein. Außerdem steht da nicht 0 * (ln(x)-1)², sondern wenn überhaupt $\begin{eqnarray*} 0\cdot (-\infty)^2 \end{eqnarray*}$ . Und das kann alles sein.

14.05.2005, 18:04

Fabolous

Auf diesen Beitrag antworten »

uuuh ich sehs auch gerade . ich rechne wieder bullshit , indem ich die gesetze durcheinander bringe traurig

Wer kann den Graphen mal eben posten , ich bekomme das nicht hin Hammer

14.05.2005, 18:06

Iion2

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ln(0)=-\infty \end{eqnarray*}$ ??? ist ln(0) nicht einfach "nicht definiert"

Aber OK, wenn das so ist. Gut zu wissen!

Ich weiß auch nett wie der Funktionsplotter mit ln funktioniert, oder ob es überhaupt geht.

14.05.2005, 18:06

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

antwort
GTR ist eine Abkürzung für Graphiktaschenrechner. und deine

Ableitung sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (ln(x)-1)*(ln(x)-1)+ 2(ln(x)-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (ln(x)-1)*[(ln(x)-1)+ 2] \end{eqnarray*}$

wollte das jetzt nur noch mal verdeutlichen und die einzige Nullstelle der Funktion ist bei x=1

nur noch mal als zusammenfassung gedacht!!

14.05.2005, 18:13

Fabolous

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist die NST bei x = 1 verwirrt

Kannst du mal den Rechansatz zeigen ?

f(x) = 0 <=> x( ln(x)-1 )² = 0| :x
= (ln (x) - 1) ² = 0| Wurzel
= ln (x)- 1 = 0 | +1
= Ln (x) = 1 | e
= x = e

14.05.2005, 18:17

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iion2
$\begin{eqnarray*} ln(0)=-\infty \end{eqnarray*}$ ??? ist ln(0) nicht einfach "nicht definiert"

Der Logarithmus ist für x=0 tatsächlich nicht definiert. Aber für x->0 geht $\begin{eqnarray*} \log(x)\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ Deshalb habe ich die etwas umgangssprachliche Schreibweise $\begin{eqnarray*} \ln(0)=-\infty \end{eqnarray*}$ verwendet.

@fabolous

Mit den Nullstellen hast du Recht. x=e ist die einzige Nullstelle von f.

@brunsi
Beachte, dass ln(1)=0

14.05.2005, 18:21

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

danke
@CALVIN: danke schön habs heute ein wenig mit der unachtsamkeit. ich hab doch tatsächlich die -1 beim denken vernachlässtigt traurig

naja wir dmir nicht noch einmal passieren, aber dann ist x=e die einzige nullstelle!!

vielen dank noch mal CALVIN!!!!!!

Wir gehen mal nen zusamen trinken Prost

14.05.2005, 18:24

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Schaubild:

Und jetzt etwas mit dem Taschenrechner gerechnet ("praktische Mathematik"):
x >>>>>>> x*(ln(x)-1)^2
0.01 >>>>> 0.314...
0.0001 >>>> 0.0104...
0.000001 >> 0.000219...
10^(-99) >>>5,24*10^(-95)
da hört mein TR auf
(hoffentlich ohne Tippfehler...)

14.05.2005, 18:45

Fabolous

Auf diesen Beitrag antworten »

ja cool danke für den Graphen Freude

Wie sieht denn die 2.te Ableitung und die 3te aus verwirrt

da f ' (x) = ( ln (x)- 1 )² + 2 ( ln (x)- 1 )

f '' (x) = 2 ( ln (x)- 1 ) * 1/x + 2 * 1/x

wie kann man die zusammenfassen ?

14.05.2005, 18:47

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest noch 2/x ausklammern. Wenn du es schaffst, Produkte zu erzeugen, ist das immer gut. Damit lassen sich die Nullstellen einfacher bestimmen.

14.05.2005, 18:57

Fabolous

Auf diesen Beitrag antworten »

irgenwie bin ich heute blind geschockt

also dann so f '' (x) = 2/x * (ln(x)-1)

und f ''' (x) = -2/x² * (ln(x)-1) + 2/x * 1/X

= 2/x² * ( (-ln(x)-1) +1 )

14.05.2005, 19:04

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

antwort
Die zweite ableitung ist nicht ganz richtig:

sie muss so lauten:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2}{x}[(ln(x)-1)+1] \end{eqnarray*}$

und vereinfacht steht denn da:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2}{x}[(ln(x)] \end{eqnarray*}$

edit: die 3.Ableitung kannste ja dann noch einmal machen!! bei der zweiten ableitung hast du falsch ausgeklammert!!

14.05.2005, 19:16

Fabolous

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm hatte es auch so im heft stehen .... falsch abgetipselt ... und die 3te am pc dann falsch gemacht ...

f ''' (x) = 2/ x² * ( - ln(x) + 1 )

Und das nächste problem besteht bei f ' Null setzen ....

f ' ( X) = 0 <=> ( ln(x)-1) * ((ln(x)-1)+2) = 0 | : ( ln(x)-1)

((ln(x)-1)+2) = 0 | -1

ln x = -1 | e

x = e^-1

= 0.36 .... kann das laut graph passen , ich glaub wohl

14.05.2005, 19:47

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

@Fabolous: gibt es nur die eine Nullstelle von f'(x) ?

14.05.2005, 19:57

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Re:antwort

Zitat:

f ' ( X) = 0 <=> ( ln(x)-1) * ((ln(x)-1)+2) = 0 | : ( ln(x)-1)

du darfst da nicht durch irgendeinen der terme mit x dividieren, sondern jeden einzeln für sich betrachten

also1. ln(x)-1= o

und 2. ln(x)-1=-2 ==> ln(x)=1 <-- hoffe ich hab diesen term jetzt richtig aufgelöst.

ich galueb das kann laut graph nicht passen, denn das würde bedeuten, dass für x=0,36 der graph die x-Achse schneidet, doch laut graph soll der das bei x=2,76... tun also bei x=e

P.S.: schau dir an, was ich da gemacht habe!!

mfg dennis

14.05.2005, 20:08

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Re:antwort
@brunsi

es geht hier um die Nullstellen der ersten Ableitung. Die hat tatsächlich zwei Nullstellen. Eine davon ist x=1/e=0,36. Du hast doch auch schon zwei Bedingungen hingeschrieben.

14.05.2005, 20:37

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Re:antwort
nein die funktion f'(x) kann nur eine Nullstelle haben, es sei denn meine bedingungen sind falsch. kannste da mal nachschauen???

denn ln(x)-1=0 ==>x=e

und aus ln(x)-1+2=0 <=> ln(x)=-1 und dafür gibt es keine nullstelle den Ansage

für negative $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt es keine Nullstellen

nicht einmal wenn man das zu 1/e umformt. entweder istd ein graph falsch oder meine bedingung, was dann wiederum darauf zurückzuführen ist, dass die AusgangsfUnktion falsch sein müsste!!

14.05.2005, 20:52

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal gerechnet und erhalten: f'(x)=(ln(x) - 1) (ln(x) + 1)

und für die Extremwerte bei f'(x)=0 folgt:

ln(x1)=1 mit x1=e
und
ln(x2)=-1 mit x2=1/e

Das passt auch zu den Graphen für f(x) und f'(x):

14.05.2005, 21:44

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

antwort
kannst du mir bitte mal für die 2.Nullstelle genau angeben, was du gerechnet hast? ich komm da immer noch nicht ganz mit. am besten so schritt für schritt??!!

vielen dank

14.05.2005, 21:54

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

ganz einfach:

ln(x)+1=0
ln(x)=-1
e^(ln(x))=e^(-1)
x=1/e

Ich denke mal, du verwechselst gerade, dass das Argument x des Logarithmus ln(x) nicht negativ sein kann (was stimmt) damit, dass der Funktionswert des Logarithmus nicht negativ sein kann (was nicht stimmt).

Hier nochmal das Schaubild:

14.05.2005, 22:00

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

danke
vielen dank etzwane. ich hab jetzt mitbekommen, weshalb es meiner meinung nahc nicht ging (was falsch ist!!) denn ich hab gedacht, dass irgendwie e^-1 für x in ln(x) wieder eingesetzt nicht -1 ergibt(wo ich mich geirrt habe.

es ist spät. ich geh jetzt lieber mal nen tee trinken und versuche nen klaren kopf zu bekommen. vielleicht funktionierte ichd ann morgen wieder wie neu.
Keien sorge bin kein robo!!*gg*

Neue Frage »

Antworten »

Ableitungen ! Hilfe !

Verwandte Themen