zwei flugzeuge

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14.05.2005, 18:07	gast18	Auf diesen Beitrag antworten »
zwei flugzeuge Ein Flugzeug a fliegt von der Position P1(6/-2/2) nach P2(-2/2/2).Ein Flugzeug b fliegt von Position Q1(2/3/1) nach Q2(-0.4/4/2.8). Die Angaben sind in km. Aufgabe: Flugzeug a befindet sich zum selben Zeitpunkt an Position P1 wie Flugzeug b an Position Q1.Ihre Geschwindigkeit ist gleich. Wie nah kommen sich die beiden Flugzeuge, wenn sie ihren Kurs jeweils beibehalten? ausgerechnet habe ich: P1P2:x=(6;-2;2)+r(-8;4;0) Q1Q2:x=(2;3;1)+s(-2.4;1;1.8) Bitte helft mir
14.05.2005, 18:29	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zwei flugzeuge du hast jetzt zwei geraden und berechnest deren lage zu einander. entweder treffen sie sich in einem Punkt (schneiden sich, indem du die rechten seiten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt) oder sie treffen sich überhaupt nicht also sind sie dann entweder parallel oder windschief. weißt du dennw ie du da vorgehen musst um das jetzt herauszufinden????
14.05.2005, 18:37	gast18	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sie sind windschief....das bringt mir aber garnix.Damit hätte ich dann nur die kürzeste Entfernung zwischen den beiden Flugrouten. Ich muss da irgendwie die Geschwindigkeit mit reinbringen..oder eher gesagt, dass sie sich gleichschnell in eine bestimmte richtung hin bewegen.
14.05.2005, 19:28	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sich beide Flugzeige gleich schnell bewegen, "laufen" auch beide Laufvariablen gleich schnell, das heißt r=s. Den Abstand kannst du nun leicht ausrechnen und ab dann ist es eine Extremwertaufgabe.
14.05.2005, 19:55	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das mit r=s so ? Ich hätte eher gedacht, da muss noch etwas normiert werden, aber mit Vektorrechnung kenne ich mich wirklich nicht so aus ...
14.05.2005, 20:01	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich müssen die normiert werden, da habe ich mal wieder nicht genau hingesehen... Also, zuerst beide Richtungsvektoren auf die gleiche Länge bringen und dann r=s setzen.
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14.05.2005, 20:07	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
antwort da musst du, weil die beiden Geraden windschief sind einfach nur eine Normalform einer Ebene zur Abstandsbestimmung machen. Du bildest jetzt einfach den Normierten Normalenvektor (=Normaleneinheitsvektor) uns skalarmultiplizierst ihn mit der differenz der beiden Ortsvektoren der beiden Geraden. Also so etwas: $\begin{eqnarray} d(P1,Q1)=\mid [p1-q1]\cdot \vec{nE}\mid \end{eqnarray}$ Vektor nE soll der Normaleeinheitsvektor sein!! das gibt dir dann den Abstand der beiden Flugzeuge zu einander an. P.S.: hoffe bloß, dass ich dir jetzt keinen müll erzählt habe, versuche das einfahc mal so zu rechnen. das ist die Formel zur Abstandsbestimmung windschiefer GEraden!!
14.05.2005, 21:12	gast18	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bringe ich den beide Richtungsvektoren auf eine Länge? Und wie setze ich dann r=s?
14.05.2005, 21:48	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
antwort bilde doch den normalenvektor mit dem vektorprodukt und dann nimmste einfach den betrag des normalenvektors und dividierst dann 1: Betrag des Normalenvektors. damit erhälst du den normierungsfaktor und jetzt musste noch zusätzlich den vektor dranhängen!!
14.05.2005, 23:54	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort ich denke, das ist eine tricky aufgabe zum thema: abstand zweier windschiefer geraden. zu diesem thema gibts genug im board, und wenn ich mich nicht verrechnet habe (haha), ist dieser abstand $\begin{eqnarray} d=\frac{52}{\sqrt{409}} =2,5712 \end{eqnarray}$ jetzt gibt es die möglichkeit, dass die 2 floiger am anfang schon weiter weg waren und in die "falsche gute " richtung fliegen, dann wäre der abstand PQ das minimum und hier kommt das fliegen rein. nun ist $\begin{eqnarray} \mid P_1Q_1 \mid =6,48 \end{eqnarray}$ und nach einer einheitsfluglänge $\begin{eqnarray} \mid P_{11}Q_{11} \mid =6,23 \end{eqnarray}$ , das heißt sie fliegen tatsächlich auf kollisionskurs, und gott sei´s gedankt, fliegen sie auf windschiefen kursen! denkt? werner
15.05.2005, 10:31	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort @werner: kannste mal bitte nachprüfen, ob mein lösungsansatz richtig ist? würde gerne wissen, was ich in zukunft noch verbessern kann!!
15.05.2005, 12:41	gast18	Auf diesen Beitrag antworten »
d=2,57 kann nicht die Lösung sein...ich meine sonst wäre die Aufgabe ja echt leicht. Die Aufgabe besteht aus a, b und c und in aufgabenteil a musste ich die geringste entfernung ausrechnen. Das heißt das bei aufgabenteil b nicht das gleiche rauskommen kann. Hilfe! Wir schrieben Mittwoch ne Klausur
15.05.2005, 12:48	gast18	Auf diesen Beitrag antworten »
da gibts aber noch ein Problem mit dem geringsten Abstand zwischen den beiden Flugrouten(das ist jetzt aufgabenteil a). Ich rechne ja den geringsten Abstand zwischen den beiden Geraden aus. So die Flugrouten sind aber Strecken. Das heißt, dass es sein kann, dass der geringste Abstand zwischen den Geraden nicht der geringste Abstand zwischen den Flugrouten ist.
15.05.2005, 13:07	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re:antwort ich denke bei windschiefen Geraden ist es egal, ob das nun ne Strecke oder eine Gerade ist. Zumal du ja nicht bestimmen sollst, wo sie sich eh nicht treffen. Es ist dabei völlig egal ob es ich um eine Gerade oder eine STrecke handelt!!! Nimm meine Formel und setze da doch einfach deine Punkte ein und berechne dann den Abstand der beiden windschiefen Flugrouten, damit müsstest du viel einfacher zu einer lösung kommen. edit: schreib doch bitte mal ALLE aufgabenteile der aufgabe hier rein. wir wollen uns selbst mal ein bidl vond er aufgabe und ihrer struktur machen. vielleicht hast du ja auch nen fehler bei aufgabenteil a gemacht??? könnte alles sein!! mfg dennis
15.05.2005, 13:16	gast18	Auf diesen Beitrag antworten »
aufgabenteil a: Bestimme die kürzeste Entfernung der beiden Flugrouten. Bist du dir da echt sicher, dass das egal ist? Ich glaub ja nicht, dass das egal ist. Wenn du das aufmalst,dann siehst du ja das es so aussieht, dass die beiden geraden sich außerhalb der Routen am nähesten kommen. Kann man nicht irgendwie berechenen zwischen welchen beiden Punkten auf den beiden geraden der geringste abstand vorhanden ist?
15.05.2005, 14:10	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
antwort indem du die kürzeste entfernung der beiden geraden berechnet hast, hast du hier auch gleichzeitig die kürzeste entfernung zweier punkte zu einander. da die beiden Flugzeuge ja beide eine konstante geschwindigkeit haben und auf ihren routen verharren, kann es nur so sein, dass du die entfernung der beiden Startpunkte zu einander bestimmen musst. also müsste es das sein, was werner aufgezeigt hat. die frage ist jetzt bloß, ob die beiden flugzeuge in die gleiche richtung fliegen also der abstand zwischen ihnen immer relativ gleich bleibt oder ob sie beide in verschiedene richtungen fliegen, z.B. der eine nach oben und der andere nach unten, dann entfernen sie sich ja von einander!! und damit würde der abstand immer größer werden. fliegens ie jedoch beide z.B. nach oben dann würde ihr abstand aufgrund konstanter geschwindigkeiten gleich bleiben und du müsstest nur die entfernung der beiden ortsvektoren zu einander berechnen.
15.05.2005, 14:34	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Als jemand, der sich in Vektorrechnung nicht so auskennt, habe ich so gerechnet: Ausgehend von P1P2: x=(6;-2;2)+r(-8;4;0) Q1Q2:x=(2;3;1)+s(-2.4;1;1.8) habe ich versucht, r und s zu normieren und dabei t eingeführt wie folgt: r=t/W(80) und s=t/W(10) mit W(x)=Wurzel aus x das ergibt: P1P2: x=(6;-2;2)+t/W(80)(-8;4;0) Q1Q2:x=(2;3;1)+t/W(10)(-2.4;1;1.8) und für das Quadrat des Abstandes der Punkte P2 und Q2, also der Flugzeuge: $\begin{eqnarray} D^2 = (4+t(-\frac{8}{\sqrt{80}}+\frac{2.4}{\sqrt{10}}))^2+(-5+t(\frac{4}{\sqrt{80}}-\frac{1}{\sqrt{10}}))^2+(1-t\frac{1.8}{\sqrt{10}})^2 \end{eqnarray}$ oder ausmultipliziert EDIT: blöden Vorzeichenfehler festgestellt .... $\begin{eqnarray} D^2=42 - 3,5324t + 0,3595t^2 \end{eqnarray*}$ Dies abgeleitet nach t und = 0 gesetzt, ergibt t = 4,913 , daraus D²=33,32 und D=5,77 als minimalen Abstand der Flugzeuge (hoffentlich stimmt es jetzt)
15.05.2005, 19:15	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo etzwane, das stimmt fast Zahlen etwas anders vorgewählt ... P1P2:x=(6;-2;2)+r(8;-4;0) Q1Q2:x=(2;3;1)+s(2.4;-1;-1.8) Richtungsvektoren auf gleiche Länge (oder normieren) P1P2:x=(6;-2;2)+r(4;-2;0) Q1Q2:x=(2;3;1)+rsqrt(2)(2.4;-1;-1.8) Punkt P auf P1P2 P(6+4r;-2-2r;2) Punkt Q auf Q1Q2 Q(2+2.4rsqrt(2);3-rsqrt(2);1-1.8rsqrt(2)) d = \|PQ\| bestimmen d^2 = 42+52r-25.6rsqrt(2)+40.00r^2-23.2r^2sqrt(2) Minimum bestimmen (Ableiten, Null setzen), ergibt r = -1.098441849 und dies dann P(1.606232604;0.196883698;2) Q(-1.728235264;4.553431360;3.796176448) mit d = 5.772731877 modulo Rechenfehler etc nun liegt der eine dieses Duo's aber außerhalb, sodass ich einfach mal behaupten will mit Q2 und den passenden Gegenpart X auf P1P2 sollte das Minimum (Randwert) erreicht sein. X(3.171572875;-0.585786438;2) d'= 5.867330743 ... oder es ist alles falsch, dann wars halt niX mit dem X schöne Pfingsten
16.05.2005, 14:36	gast18	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bringe ich denn die Richtungsvektoren auf eine Länge?
16.05.2005, 16:09	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Länge eines Vektors $\begin{eqnarray} \vec{r}=\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|\vec{r}\|=\sqrt{r_1^2+r_2^2+r_3^2} \end{eqnarray}$ . Wenn du den Vektor auf eine bestimmte Länge $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ bringen willst, musst du also dafür sorgen, dass $\begin{eqnarray} l^2=\left(\frac{r_1}{a}\right)^2+\left(\frac{r_2}{a}\right)^2+\left(\frac{r_3}{a}\right)^2=\frac{r_1^2+r_2^2+r_3^2}{a^2},~\Rightarrow~a^2=\frac{r_1^2+r_2^2+r_3^2}{l^2},\quad a \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} l=1 \end{eqnarray}$ , dann ist die Bestimmung von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ besonders einfach, denn dann ist $\begin{eqnarray} a^2=r_1^2+r_2^2+r_3^2=\|\vec{r}\|^2~\Rightarrow~a=\pm\|\vec{r}\| \end{eqnarray}$ .

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