Kegelschnitt

04.01.2008, 13:04

Mark4

Kegelschnitt

Hallo, ist mein erster Post, hoffe ihr könnt mir helfen.
Mein Problem ist folgendes

Angabe: Die Ellipse $\begin{eqnarray*} 3x^{2}+5y^{2}=120 \end{eqnarray*}$ wird im Punkt P(5/y>0) von einer Hyperbel geschnitten, deren Brennpunkte mit den Brennpunkten der Ellipse zusammenfallen.

Die Gleichung der Hyperbel soll berechnet werden.

Meine Frage nun da die Brennpunkte gleich sind, sind auch a und b gleich oder.
Also setze ich in die Hyperbelgleichung ein $\begin{eqnarray*} b^{2}*x^{2}-a^{2}*y^{2}=a^{2}*b^{2} \end{eqnarray*}$ a und b ein.
Dabei is a= $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ und b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ oder?

Das Ergebnis soll sein: $\begin{eqnarray*} 3x^{2}-5y^{2}=30 \end{eqnarray*}$

Aber das kommt mir irgendie nicht raus, denn nach der Formel $\begin{eqnarray*} b^{2}*x^{2}-a^{2}*y^{2}=a^{2}*b^{2} \end{eqnarray*}$ käme dann auf der rechten Seite nur 15 heraus.

Hab auch den Punkt durch einsetzen in die Ell.Gleichung ausgerechnet, der wäre dann P(5/3)???? verwirrt

Wie soll ich denn das ganze am besten angehen?

Aber wenn ich dann die Zeichnung mache liegt P nichtmal auf der Ell wenn ich für a= $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ und b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ auftrage.

Und dann sollen beide um die x-Achse rotieren.
Das entstehende Ellipsoid durch die beiden Schalen des Hyperboloid in 3 Teile geteilt, das V soll berchnet werden.
Wie soll da der Ansatz auschauen?

Bitte euch um Hilfe!

04.01.2008, 22:09

mYthos

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RE: Kegelschnitt

Zitat:

Original von Mark4
...
... da die Brennpunkte gleich sind, sind auch a und b gleich oder.
...

Keinesfalls. Was bei den beiden (konfokalen) Kegelschnitten gleich ist, ist die lineare Exzentrizität e. Bei der Ellipse beträgt diese

$\begin{eqnarray*} e^2 = {a_E}^2 - {b_E}^2 \end{eqnarray*}$

und bei der Hyperbel

$\begin{eqnarray*} e^2 = {a_H}^2 + {b_H}^2 \end{eqnarray*}$

Zweitens sind a und b bei der Ellipse von dir falsch berechnet!! Du musst die Ellipsengleichung zuerst entsprechend umformen, sodass du zur Achsenform

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

gelangst. So kennen wir a, b der Ellipse, damit auch e. Den y-Wert des Punktes P ermitteln wir aus der Ellipsengleichung, dieser ist 3, richtig. Für die Achsen der Hyperbel kannst du nun zwei Gleichungen aufstellen.

(1) e (Ellipse) = e (Hyperbel) = ......
(2) Setze den Punkt P in die allg. Hyperbelgleichung ein!
-----------------------------------
-> a, b der Hyperbel

Das Gleichungssystem nach $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ auflösen.

Sehen wir mal, ob du damit einmal weiterkommst, zur Rotation kommen wir dann später. Bitte aber dann noch um einen Ansatz oder zumindest Ideen und Überlegungen deinerseits!

mY+

05.01.2008, 12:37

Mark4

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Vielen Dank hat jetzt sehr gut funktioniert.
Überlege mir dann einmal einen Ansatz für die Rotation!

07.01.2008, 11:48

Mark4

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Also nach langer Überlegung, wirklich sicher bin ich mir aber nicht, würde ich für das Ellipsoid die Ellipsengleichung auf $\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$ umformen und dann das Integral davon mit den Grenzen von -a bis +a berechnen.

Davon würde ich dann 2mal das Volumen des Hyperboloid abziehen.

Aber da liegt mein nächstes Problem, muss ich für den Hyperboloid von der Hyperbelfunktion die Ellipsenfunktion abziehen?
Und nehme ich als Grenzen das a der Ell und a der Hyp?

08.01.2008, 15:26

mYthos

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Beide Kurven liegen symmetrisch zur y-Achse, daher rechnen wir alles nur im rechten Teil und nehmen alles dann doppelt.

Der innerhalb des Ellipsoids liegende Teil des Hyperboloides hat die Grenzen a der Hyperbel und x (=5) des Punktes. Dieses Volumen ziehen wir vom Volumen des Ellipsoides von 0 bis 5 ab. Den aussen liegenden Volumsteil des Ellipsoides berechnen wir in den Grenzen 5 und a der Ellipse.

mY+

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