Summe umschreiben

15.05.2005, 14:13

Gast1

Summe umschreiben

Hallo!

Es wird gefragt wieviele Additionen umd Multiplikationen zur Berechnung der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i,j=1}^n~a_i b_j \end{eqnarray*}$ benötigt werden.

Ich bin auf $\begin{eqnarray*} n^2-1 \end{eqnarray*}$ Additionen und $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ Multiplikationen gekommen. Das müsste stimmen.

Also insgesamt $\begin{eqnarray*} 2n^2-1 \end{eqnarray*}$ Rechenoperationen.

Jetzt wird gefragt, wie man die Summe umschreiben könnte, so dass die Anzahl der Rechenoperationen reduziert wird.

Wenn man die Summe "auseinander ziehen" würde, also so $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~a_i + \sum_{j=1}^n~b_j \end{eqnarray*}$ käme man auf $\begin{eqnarray*} 2(n-1)+n \end{eqnarray*}$ Rechenoperationen, was viel weniger Rechenoperationen wäre, aber irgendwie kommt mir das komisch vor..
verwirrt

15.05.2005, 14:24

JochenX

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natürlich kommt dir das komisch vor!
das untere ist ja auch etwas völlig anderes als das obere!
rechne doch mal nach!

stichwort könnte hier ausklammern sein!

(edit: ja, am ende hast du n summationen und n² produkte)

15.05.2005, 15:37

Gast1

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Ich hab mich wohl vertippt es sollte $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~a_i * \sum_{j=1}^n~b_j \end{eqnarray*}$ heißen. Aber dabei hab ich genau so viele Rechenoperationen wie in der ursprünglichen Summe.
Wenn ich $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ vor die Summe schreibe, also so:
$\begin{eqnarray*} a_i * \sum_{j=1}^n~b_j \end{eqnarray*}$ , für i=1..n, dann sind's genau so viele RO. Ich kapier's nicht, geht das überhaupt? Hammer

15.05.2005, 15:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gast1
Wenn ich $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ vor die Summe schreibe, also so:
$\begin{eqnarray*} a_i * \sum_{j=1}^n~b_j \end{eqnarray*}$ , für i=1..n, dann sind's genau so viele RO. Ich kapier's nicht, geht das überhaupt? Hammer

Ja, das kannst du schon machen, dann musst du aber das für i=1,...,n auch aufaddieren. Das würde man so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\left(a_i\cdot \sum_{j=1}^n~b_j\right) \end{eqnarray*}$

Hier hast du zwar weniger Rechenoperationen (wie viel hast du denn?), es gehen aber auch noch weniger, siehe unten.

Zitat:

Original von Gast1
Ich hab mich wohl vertippt es sollte $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~a_i * \sum_{j=1}^n~b_j \end{eqnarray*}$ heißen. Aber dabei hab ich genau so viele Rechenoperationen wie in der ursprünglichen Summe.

Das ist richtig, besser mit Klammern:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{i=1}^n~a_i\right)\cdot \left(\sum_{j=1}^n~b_j\right) \end{eqnarray*}$

Du kannst das auch mal ausschreiben:

$\begin{eqnarray*} (a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n)\cdot (b_1+b_2+...+b_{n-1}+b_n) \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du aber wesentlich weniger Rechenoperationen, denn:
Wie viel Additionen brauchst du in der ersten Klammer, wie viel in der zweiten? Wenn du dann die Additionen ausgeführt hast, welche Rechenoperation muss dann nur noch durchgeführt werden? Wie viele Rechenoperationen sind das insgesamt? Augenzwinkern

15.05.2005, 15:57

Gast1

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Dann hab ich $\begin{eqnarray*} 2n-1 \end{eqnarray*}$ Additionen und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Multiplikation. Also $\begin{eqnarray*} 2n-1 \end{eqnarray*}$ RO insgesamt. smile

15.05.2005, 16:07

Mathespezialschüler

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Du meinst $\begin{eqnarray*} 2(n-1) \end{eqnarray*}$ Additionen, dann wird es richtig! Augenzwinkern

15.05.2005, 16:24

Gast1

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Ja, das meinte ich, Danke smile

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