Widerspruch bei Lösung von Gleichungssystem

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Moeki Auf diesen Beitrag antworten »
Widerspruch bei Lösung von Gleichungssystem
Zitat:

Zeigen Sie, dass sich die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem





als Summe einer speziellen Lösung dieses Gleichungssystems un der Lösung des zugehörigen homogenen Systems angeben lässt.


Ax = b



Das homogene Gleichungssystem





ist nur trivial lösbar, denn n = rg(A) = 3.

d.h.

So weit so gut.

rg(A) = rg(Ab) = n = 3

Der Rang der Matrix A ist gleich dem Rang der um die Spalte b erweiterten Matrix A und das ist gleich der Zahl der Unbekannten. Daraus folgt, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

So komme ich auf

d.h.

wenn ich es also gemäß der Aufgabenstellung darstellen würde



Nun hat aber zum Beispiel ein Komiltone von mir die Lösungsmenge errechnet, welche auch stimmt.

Wo liegt also das Problem?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, werde das jetzt nichtb explizit nachrechnen sondern lieber einiges zur theorie sagen:

[quote]Zeigen Sie, dass sich die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem

blubbblubb

als Summe einer speziellen Lösung dieses Gleichungssystems un der Lösung des zugehörigen homogenen Systems angeben lässt.[/uqote]
das gilt immer!
klar oder muss ich näher drauf eingehen?

eindeutigkeit, wenn nur alles =0 das homogene LGS löst.
klar?

wenn also 2 unterschiedliche lösungen existieren, so kann das homogene LGS nicht eindeutig lösbar sein!
sei a=(a1,...,an) und b=(b1,...,bn) lösung des normalen, so muss a-b lösung des homogenen LGS sein.
damit kannst du nachprüfen!
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

also für das homogene Gleichungssystem bekomme ich als Lösung t * (1,-1,1)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das würde gut passen.

Zitat:
ist nur trivial lösbar, denn n = rg(A) = 3.

dann scheint sich wohl hier ein fehler eingeschlichen zu haben, ohne groß nachzudenken sage ich: rang(A)=2
Moeki Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kann ich unseren Matheprofessor auf einen Fehler in seinem Buch hinweisen :-)

Zitat:
Original von LOED
ohne groß nachzudenken sage ich: rang(A)=2


das denke ich nicht, denn bei der errechnung des ranges kommt ne eindeutige dreiecksform raus.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wenn die koeffizientenmatrix dreiecksform hätte, dann wäre das LGS eindeutig!

aber ich sehe gerade: deine angegebene matrix A hat mit dem LGS ja auch überhaupt nichts zu tun!
Wink



edit: - aus meinem smiley entfernt
 
 
Moeki Auf diesen Beitrag antworten »

ja hast recht, ich habe die matrix falsch aufgestellt. bildet jede gleichung eine zeile oder eine spalte?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

die gleichungskoeffizienten kommen in die zeile!

wenn allerdings eine 3x3-matrix vollen rang hat, so auch ihre transponierte! verwirrt


edit: nachrechnen ergibt: rg(A)= 2
Moeki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Widerspruch bei Lösung von Gleichungssystem
Hier die richtige Lösung. Ich habe mich in der Tat beim Rang verrechnet.

Zitat:
Original von Moeki
Zitat:

Zeigen Sie, dass sich die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem





als Summe einer speziellen Lösung dieses Gleichungssystems un der Lösung des zugehörigen homogenen Systems angeben lässt.


Ax = b



Das homogene Gleichungssystem





ist nichttrivial lösbar, denn n > rg(A) = 2, im Abhängigkeit vom Parameter t.

d.h.

So weit so gut.

rg(A) = rg(Ab) = 2 < n

s= n -r = 1 (Parameter)

Der Rang der Matrix A ist gleich dem Rang der um die Spalte b erweiterten Matrix A und das ist kleiner als die Zahl der Unbekannten. Daraus folgt, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist in Abhängigkeit vom Parameter t.

So komme ich auf

d.h.

wenn ich es also gemäß der Aufgabenstellung darstellen würde


JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Daraus folgt, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist in Abhängigkeit vom Parameter t.

was willst du denn damit aussagen?
es ist nicht eindeutig lösbar, aber in abhängigkeit von t.
du sagst da etwas anderes.... könnte verwirrung stiften.

das folgt doch schon direkt daraus, dass das homogene LGS nichttrivial lösbar ist, sondern einen eindimensionalen lösungsraum hat!

lösung ansonsten korrekt.


allgemein gilt: sei Menge aller Lösungen des homogenen LGS, und y eine spezielle Lösung (beachte: x und y sind vektoren), dann sind all deine lösungen von der form "y + Linearkombination aus vektoren aus L_H"
soviel also auch zur eigentlichen aufgabe: zeigen sie, dass...
das ist immerwahr!

mfg jochen
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