Bilinearform def. durch eine Gramsche Matrix ist positiv definit...

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alain Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform def. durch eine Gramsche Matrix ist positiv definit...
Hallo Zusammen

Ich habe folgende Aufgabe, die ich leider nicht lösen kann. Ich wäre froh, wenn mir jemand sagt, wo ich auf dem Holzweg bin, und wo ichs nochmal versuchen sollte:

Behauptung: Die Bilinearform, die durch die Gramsche Matrix repräsentiert wird, ist genau dann positiv definit, wenn und erfüllt sind.

Vorbereitung:
Wir nennen die Gramsche Matrix A, sie ist offensichtlich symetrisch.
Def.: Eine symetrische Bilinearform s heisst positiv definit, wenn mit
Def.: Gramsche Matrix (auch Grammatrix genannt.) Danke @Leopold


Beweis:
und
<=>
{ { Die durch A definierte Bilinearform s ist positiv definit <=> mit }
<=> Eigenvektoren }
Zu Deutsch: Es ist zu zeigen, dass und d.h. <=> wobei Eigenwerte von A sind.

Also berechne ich das charakteristische Polynom:




=>


Jetzt kommt das Problem. Ich möchte zeigen, dass beide grösser 0 sind. Leider habe ich 2 A4Seiten vollgekrizelt und vorwärz und rückwärz umgeformt.... Leider ohne Erfolg. Ich weiss, dass grösser ist als 0 und und möchte zeigen, dass die EW auch grösser als 0 sind. Wenn da jemand die hilfreiche Umformung sieht, bitte mal mit dem Finger drauf zeigen ;-)

Post Scriptum: Das Abtippen hat mir etwas Pause gegeben sowie die Möglichkeit, die Terme nochmals "von oben" zu betrachten.
Aus folgt , sowie woraus folgt
Betrachtung der Wurzel:
Behauptung:
<=>

<=>

Wir wissen, dass weil Quadrate immer positiv sind. Wir wissen, dass sowie , um zu zeigen, dass letzte Ungleichung wahr ist, müssen wir lediglich zeigen, dass die linke Seite grösser als 0 ist.
=>
Jetzt musste ich zeichnen, um das zu begründen:
mit
Danke lieber Pythagoras, denn dank Dir weiss ich, dass die Gleichheit genau dann gilt, wenn wir von einem Quadrat sprechen, also
=> Die Behauptung (leicht korrigiert) ist bewiesen

=> Es gibt eine reelle Lösung der Determinante.

Jetzt ist der erste Eigenwert positiv, der für +.
Um zu zeigen, dass der 2te EW ebenfalls positiv ist, ist es nötig zu zeigen, dass

Wobei zu beachten ist, dass (nach Vorraussetzung) , quadrieren =>

Was wahr ist ;-)

An dieser Stelle fühle ich mich (unter der Annahme, dass dies alles richtig ist) - als grosser Verfechter konventioneller ASCCII-Smilies - absolut genötigt meine Gefühlslage graphisch zu artikulieren: Rock
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Geht einfacher und schneller: Ausgehend von der charakteristischen Gleichung



mit den Lösungen gilt nach dem Satz von Vieta



Nun soll ja beide Lösungen positiv sein, daher folgt aus der zweiten Gleichung unmittelbar .

Allein wegen dieser Gleichung gilt nun entweder oder , und letztere Variante gilt es noch auszuschließen: Dieser Fall kann wegen der ersten Vieta-Bedingung nur dann eintreten, wenn ist, wegen folgt daraus . Im Umkehrschluss tritt dieser unerwünschte Fall also für nicht auf - fertig.
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