Treppenfunktionen sind nicht stetig?

04.01.2008, 18:40	43	Auf diesen Beitrag antworten »
Treppenfunktionen sind nicht stetig? Ich würde gerne beweisen, dass Treppenfunktionen nicht stetig sind. Eine Treppenfunktion kenne ich unter folgender Def. a < b, $\begin{eqnarray} f:[a,b] -> \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist Treppenfunktion <=> es gibt eine Unterteilung $\begin{eqnarray} a = t_0 < t_1 < ... < t_n =b \end{eqnarray}$ von [a,b] gibt und reelle Zahlen $\begin{eqnarray} c_j \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(x)= c_j \forall x \in ] t_{j-1}, t_j[ \forall j \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Als Zeichnung ist mir das total klar, denn da kann man die Treppnfunktion ja nicht zeichnen ohne den Stift abzusetzen. Ich vermute, ich muss zeigen, dass folgendes nicht gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{j -> i} c_j \not= \lim_{i -> j} c_i \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} c_j \end{eqnarray}$ betrachte ich von links, $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ aber von rechts Das war meine Idee, die ich aber nicht umsetzen kann. Was denkt ihr? Dass Treppenfunktionen durchaus stetig sein können auf ganz IR?
04.01.2008, 18:45	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
den grenzwert den du hingeschrieben hast hat keinen sinn, du musst $\begin{eqnarray} \lim_{x\searrow t_i}f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x\nearrow t_{i}}f(x) \end{eqnarray}$ untersuchen und dann feststellen dass die grenzwerte ungleich sind, falls die treppenfunktion eben an dieser stelle einen sprung macht (falls die beiden grenzwerte gleich sind kann man sich eine funktion $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ konstruieren so, dass $\begin{eqnarray} f_1=f \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in[a,b]\backslash\{t_i\} \end{eqnarray}$ und lege dann einen funktionswert $\begin{eqnarray} f_1(t_i)=c \end{eqnarray}$ fest so, dass $\begin{eqnarray} c\neq\lim_{x\to t_i}f(x) \end{eqnarray}$ und begründe, dass $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ auch eine treppenfunktion ist) dann hast du gezeigt, dass im allgemeinen treppenfunktionen unstetig sind (resp sein können, denn die konstante funktion ist ja auch eine treppenfunktion )
04.01.2008, 19:01	43	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt resp? Also: nicht alle Treppenfunktionen sind stetig? Habe ich das gerade richtig verstanden?
04.01.2008, 19:09	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
resp steht für respektive, das heisst einfach "beziehungsweise" genau, eine treppenfunktion muss nicht notwendig unstetig sein, nur ist sie es eben meistens...
04.01.2008, 19:28	43	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, dann funktionierte meine Idee eh nicht. Danke trotzdem!
04.01.2008, 19:29	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst schon beweisen dass treppenfunktionen im allgemeinen unstetig sind, nur die aussage " $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ treppenfunktion $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ unstetig" ist schlicht falsch, gegenbeispiel ist eben eine konstante funktion...
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