Differentialgleichung lösen

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15.05.2005, 20:48	Tomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung lösen Hallo! Ich habe hier mal ne Aufgabe, wo ich nicht so richtig zurande komme. Vielleicht könnt ihr mir da mal ein wenig weiter helfen. Folgende Aufgabe: (x²y+x)dx + (x²y-y)dy = 0 ->y(0)=1 So, als erstes habe ich beide Terme integriert und dann unter den Anfangsbedingungen C bestimmt. Da habe ich C=-1/2 errechnet. Rauskommen muss folgendes $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{2}{1-x^2}-1} \end{eqnarray}$ Ist das überhaupt richtig, was ich bis jetzt da gemacht habe, oder geht das irgendwie anders? Danke Tomi edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
15.05.2005, 20:53	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung auflösen schreib mal bitte die gesamte aufgabe hier rein und verwende den formeleditor, damit wir das besser sehen können. ich weiß z.B. nicht, was du genau meinst, ich könnte da nur raten und das wäre blödsinn. also bitte aufgabe posten und für Formeln Formeleditor verwenden.
15.05.2005, 21:01	Tomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, soviel mehr gibt es da nicht zu schreiben. Also die Aufgabenstellung ist folgende. Löse die Differentialgleichungen mit den gegebenen Anfangsbedingungen. Aufgabe -> $\begin{eqnarray} (xy^2+x)dx + (x^2y-y)dy=0 ; y(0)=1 \end{eqnarray}$ Dat wars dazu eigentlich schon. Hoffe jetzt sieht das besser und klaren aus gruss Tomi
15.05.2005, 21:03	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Tomi Das schreiht doch nach exakter DGL oder
15.05.2005, 21:16	Tomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie meinst das, exakter DGL ?? Meinst ich muss diese erst irgendwie umstellen?
15.05.2005, 21:17	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du keine exakten Differenzialgleichungen das ist ein Paradebesipiel. Man nennt eine Differenzialgleichung der Form $\begin{eqnarray} P(x,y)\mathrm dx + Q(x,y)\mathrm dy = 0 \end{eqnarray}$ exakt, wenn $\begin{eqnarray} P_y = Q_x \end{eqnarray}$ . /edit: Guck mal hier ist es gut erklärt.
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15.05.2005, 21:39	Tomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Werds mir mal anschauen und dann versuchen meine Aufgabe nochma zu rechnen, ansonsten melde ich mir nochmal. Tomi
15.05.2005, 23:25	Tomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Glaube ich brauche doch Hilfe um diese Aufgabe zu lösen. So richtig kann ich das aus dem PDF nicht auf meine Aufgabe anwenden, um auf's Ergebnis zu kommen. Wäre nett, wenn ihr mir da mal grob sagen könntet, was ich als nächtest machen müsste. gruss Tomi
15.05.2005, 23:48	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nun erstmal prüfen, ob die DGL exakt ist. Hast du das schon gemacht?? /edit: Dazu musst du ja nur gucken, ob $\begin{eqnarray} P_y = Q_x \end{eqnarray}$ gilt. Also hier wäre ja dann $\begin{eqnarray} (xy^2 + x)\mathrm dx + (x^2y - y)\mathrm dy = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(x,y) &= xy^2 + x \\ Q(x,y) &= x^2y - y \end{eqnarray}$ ist nun $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}P(x,y) \overset{?}{=} \frac{\partial}{\partial x}Q(x,y) \end{eqnarray}$ das sieht man schon .
16.05.2005, 16:58	Tomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, woran sieht man das, wenn ich dich mal fragen darf? Hat das was mit der Stammfunktion zu tun?? Wenn ich das integriere, dann habe ich ja die Stammfunktion davon. Aber hat nicht jede Funktion ne Stammfunktion. Hmmm... Weil in dem PDF wird ja auch von dem Fall ausgegangen, wenn das ma nicht passen sollte. gruss Tomi
16.05.2005, 21:15	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (xy^2 + x)\mathrm dx + (x^2y - y)\mathrm dy = 0 \end{eqnarray}$ Also gucken wir erstmal: Ist $\begin{eqnarray} P_y \overset{?}{=} Q_x \end{eqnarray}$ Ja, denn $\begin{eqnarray} P_y &= 2xy \\ Q_x &= 2xy \end{eqnarray}$ somit ist die DGL exakt. Um einie Lösung zu finden integrieren wir nun $\begin{eqnarray} P(x,y) \end{eqnarray}$ nach x und $\begin{eqnarray} Q(x,y) \end{eqnarray}$ nach y. Dabei nennen wir die Funktion $\begin{eqnarray} \phi(x,y) \end{eqnarray}$ für beide Integrationen Da $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ folglich für beide Integrationen gleich sein muss, können wir dann die beiden Funktionen vergleichen und erhalten die Lösung $\begin{eqnarray} \phi(x,y) = C \end{eqnarray}$ . (Im Skript $\begin{eqnarray} F(x,y) = C \end{eqnarray}$ ) /edit: Rechtschreibfehler beseitigt. TeX-Code ausversehen mit Bold versetzt

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