Binomialverteilungen mit "unorthodoxen" Wahrscheinlichkeiten

15.05.2005, 22:55

sqrt(2)

Binomialverteilungen mit "unorthodoxen" Wahrscheinlichkeiten

Ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung über die Aufgaben des Zentralabiturs Bayern 2004 (LK) gestolpert. Dort heißt es in Aufgabe LM2/III:

Zitat:

1. Im Mittel wollen 55% der Anrufer eines Callcenters eines großen Touristikunternehmens eine Reise buchen, [...]
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 Anrufern mehr als die Hälfte eine Reise buchen wollen?

Nun sind wir im Unterricht so nicht besonders weit fortgeschritten (zur Orientierung: wir haben die standardisierte Dichtefunktion noch nicht angesprochen, aber schon Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Umgebungen von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ binomialverteilter Zufallsgrößen bestimmt).

Nun ist es hier, dass die Laplace-Bedingung nicht erfüllt ist, da $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)} \approx 2.487 \end{eqnarray*}$ . Da kein Tafelwerk die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für eine $\begin{eqnarray*} B_{25;0.55} \end{eqnarray*}$ -verteilte Zufallsgröße führen wird, frage ich mich, ob es irgendeine schnelle Möglichkeit gibt, die gefragte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, immerhin ist es Aufgabe 1a). Oder wird tatsächlich erwartet, dass man $\begin{eqnarray*} P(X \leq 12)=\sum_{i=0}^{12} \begin{pmatrix}25 \\ i\end{pmatrix} \cdot 0.55^i \cdot 0.45^{25-i} \end{eqnarray*}$ "per Hand" ausrechnet?

[edit]Tippfehler korrigiert.[/edit]
[edit2]Und nochmal.[/edit]

16.05.2005, 00:09

quan

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hi
also ich bin mir garnicht sicher ob ich die aufgabe so gestartet hätte aber ich zieh einfach mal mit. bei standardabweichung heisst es übrigens 1-p Augenzwinkern

aber hast es ja eh richtig gerechnet. kann man einfach vom mittel auf p schliessen?

also ich hätte die aufgabe mit der normalverteilung angenähert, damit geht es recht zügig. wenn ihr die nicht besitzt hast du keine andere wahl als per hand zu rechnen. da ich maple besitze ist beides recht zugig:
binomialverteilungergebniss: 0.306
annährung durch normalverteilung: 0.308

hoffe die antwort hat dir was gebracht
gruss quan

16.05.2005, 00:17

quan

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hätte wohl noch dazu schreiben können das
P(X>12)=
binomialverteil= 0,69367
normalverteilt= 0,69234
ist.
darum gehts ja ansich in der aufgabe.
mfg quan

16.05.2005, 01:10

sqrt(2)

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Zitat:

Original von quan
also ich bin mir garnicht sicher ob ich die aufgabe so gestartet hätte

Wie denn sonst? Ich kann mir gut vorstellen, dass ich da wieder auf dem Schlauch stehe...

Zitat:

Original von quan
bei standardabweichung heisst es übrigens 1-p Augenzwinkern

So spät war es doch noch gar nicht... Naja, ist korrigiert.

Zitat:

Original von quan
kann man einfach vom mittel auf p schliessen?

Zumindest haben wir das so mit Aufgaben sehr ähnlicher Formulierung schon gemacht.

Zitat:

Original von quan
also ich hätte die aufgabe mit der normalverteilung angenähert, damit geht es recht zügig.

Ich dache, diese Näherung ist nur zulässig, wenn $\begin{eqnarray*} \sigma > 3 \end{eqnarray*}$ , und das ist ja hier nicht der Fall. Andererseits liegen deine Ergebnisse doch recht nah beieinander...

Zitat:

Original von quan
wenn ihr die nicht besitzt hast du keine andere wahl als per hand zu rechnen. da ich maple besitze ist beides recht zugig:

Ich frage mich, ob man in Bayern für's Abi ein CAS verwenden darf... Weiß da jemand etwas?

Zitat:

Original von quan
hoffe die antwort hat dir was gebracht

Sie bringt mich jedenfalls ein gutes Stück weiter, dankeschön. smile

16.05.2005, 01:21

quan

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also mit standartabweichung grösser 3 ist richtig habs auch nur angewendet da
erstens 2.5 nah dran ist und zweitens ich auch das ergebniss von der binomialverteilung vorliegen hatte. näherungen sind ja wie du schon sagtest gut. ja falls 0.55=p ist dann stimmt die aufgabe schon so. hatte das mit der abiaufgabe ganz vergessen... wenn die mehr als die formeln sehen wollen dann sitzt man da schon eine weile dran....

16.05.2005, 13:23

sqrt(2)

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Naja, wenn man einen Taschenrechner mit Wiederholungsfunktion hat (und das haben ja inzwischen alle, zum Abitur zugelassen sind sie auch), kann man das schon in 5 Minuten schaffen. Mir kommt es nur ein bisschen komisch vor, dass man gleich zu Anfang "zu Fuß" gehen muss. Ich wäre da im Abitur verunsichert...

Wie auch immer, vielen Dank. smile

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