Orthogonale Matrix: obere Dreiecksmatrix <=> Diagonalmatrix

16.05.2005, 08:47	Student2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrix: obere Dreiecksmatrix <=> Diagonalmatrix Hallo, ich soll einen Beweis führen. Nämlich: Eine orthogonale Matrix ist genau dann eine obere Dreiecksmatrix, wenn sie eine Diagonalmatrix ist. Die Rückrichtung ist ja einfach, denn eine Diagonalmatrix ist ja auch eine obere Dreiecksmatrix. Aber die Hinrichtung? Mache ich das mit Gegenannahme und dass die einzelnen Vektoren in der Matrix nicht orthogonal sind? Oder argumentiere ich damit, dass für eine Orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} A^{-1} = A^{t} \end{eqnarray}$ gelten muss? Student
16.05.2005, 16:07	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrix: obere Dreiecksmatrix <=> Diagonalmatrix hinRichtung: Wenn eine orthogonale Matrix A obere Dreickecksmatrix ist, dann ist sie Diagonalmatrix. Zunächst hält man fest, dass die orthogonale Matrix A quadratisch ist. Dann stellst Du sie Dir vor als aus n Vektoren bestehend, die immer mehr Nullen enthalten, $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} \vec{v}_1 \\ \vec{v}_2 \\ ... \\ \vec{v}_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{v}_j = \{0, 0, ..., 0, a_{j,j}, a_{j, j+1}, ..., a_{j, n}\} \end{eqnarray}$ . Die Bedingung "A ist orthogonale Matrix" bedeutet $\begin{eqnarray} \vec{v}_i . \vec{v}_j = \delta_{i, j} \end{eqnarray}$ . Wenn man sich das für den letzten Vektor anschaut - er hat nur die letzte Komponente ungleich Null - bedeutet dies, dass die letzten Komponenten der anderen (n-1) Vektoren gleich Null sein müssen. Nun argumentiert man mit dem vorletzten Vektor (dessen letzte Komponente Null sein muss nach dem vorangegangenen Schritt und dessen erste (n-2) Komponenten Null sind n.V.) bzgl. der vorletzten Komponenten der ersten (n-2) Vektoren: Diese müssen auch Null sein; usw. bis zum ersten Vektor und fertig.

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