Zerlegung in Linearfaktoren (?)

16.05.2005, 13:10

Kelendria

Zerlegung in Linearfaktoren (?)

Hallo!

Ich muss quadratischen Terme in Linearfaktoren zerlegen (in Q).

Beispiel: 4xhoch2 -8x -5.

Was sind eigentlich Linearfaktoren? Und wie funktioniert das mit der Zerlegung?

Kelendria

16.05.2005, 13:16

aRo

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entweder kann ich das auch noch nicht, oder du wirst ziemliche schwierigkeiten haben, dass in linearfaktoren zu zerlegen.

Das Ding hat ja gar keine Nullstelle.

Gruß,
aRo

16.05.2005, 13:17

Ari

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Linearfaktoren sind doch Terme, in denen keine quadratischen Terme vorkommen. Daher musst du die zerlegen. 4x^2 heißt so viel wie: 4x*x. Ich würde jetzt weiter spekulieren, in wiefern man den Term dort unten noch weiter zerlegen kann, da ich mir aber nicht sicher bin, lass ich es erst einmal (und lasse die ran, die mehr Ahnung davon haben) Augenzwinkern

hoffe, dass ich damit nich komplett falsch liege Wink

16.05.2005, 13:18

mercany

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Hi,

ein Linearfaktor ist ein Term, in dem die Funktionsvariable, meistens x, nur in einfacher Potenz vorkommt.

Linearfaktoren kommen z.B. in der Polynomdivision vor. Die Nullstellen der Funktion treten hier als feste Summanden in den Linearfaktoren auf.

Ausserdem lässt sich jedes Polynom n-ten Grades mit Hilfe des Satz von Vietá in ein Produkt von n Linearfaktoren zerlegen.

Allgemein gilt für die Form: $\begin{eqnarray*} ax \pm b \end{eqnarray*}$

Gruss
mercany

16.05.2005, 13:19

iammrvip

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Hallo @all Wink

Zitat:

Original von aRo
Das Ding hat ja gar keine Nullstelle.

Was hast du denn für eine Gleichung benutzt verwirrt

@Kelendria
Um den Term in Linearfaktoren zu zerlegen, kannst du einfach die Nullstellen bestimmen und schreibst dann

$\begin{eqnarray*} (x - x_1)(x - x_2)...(x - x_n) \end{eqnarray*}$

16.05.2005, 13:21

aRo

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UUUUPS!!

habe $\begin{eqnarray*} 4x^2-8x + 5 \end{eqnarray*}$ benutzt...^^

sorry!

16.05.2005, 13:22

iammrvip

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Zitat:

Original von aRo
habe $\begin{eqnarray*} 4x^2-8x + 5 \end{eqnarray*}$ benutzt...^^

Diese Gleichung hat aber auch zwei Lösungen! Sie lässt sich auch in Linearfaktoren zerlegen! Jedoch nich in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen.

Das heißt also, dass jede Polynomgleichung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ so viele Nullstellen besitzt, wie ihr Grad ist.

Also hat unser Beispiel zwei Lösungen (auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ) Augenzwinkern

16.05.2005, 13:25

mercany

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Ich geb mal noch nen kleinen Tipp:

Wenn du $\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$ hast, dann gilt hierfür

$\begin{eqnarray*} p = -(x_1 + x_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = x_1 * x_2 \end{eqnarray*}$

16.05.2005, 13:29

iammrvip

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@Kelendria
Du kannst auch erstmal durch 4 teilen und danach ganz normal mit p-q-Formel lösen Augenzwinkern

.

Oder gleich Mitternachtsformel Augenzwinkern

16.05.2005, 13:31

aRo

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hmm..

dann führ mal bitte das beispiel weiter aus, versteh das nicht so ganz Augenzwinkern

gruß,
aRo

16.05.2005, 13:34

mercany

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Wer? Welches?

Das lösen mit der PQ-Formel?!

16.05.2005, 13:39

iammrvip

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Zitat:

Original von aRo
dann führ mal bitte das beispiel weiter aus, versteh das nicht so ganz Augenzwinkern

Die Gleichung lautet

$\begin{eqnarray*} 4x^2-8x + 5 \end{eqnarray*}$

sie somit zweiten Grades und folglich nachdem Fudamentalsatz zwei Lösung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Lösen können wir sie einfach mit p-q-Formel (oder auch Mitternachstformel)

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} &= 1 \pm \sqrt{1 - \frac{5}{4}} \\ &= 1 \pm \sqrt{-\frac{1}{4}} \\ &= 1 \pm \frac{\mathrm i}{2} \end{eqnarray*}$

Somit ist die Lösungsmenge (wie vorhergesagt)

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \left\{ 1 + \frac{\mathrm i}{2}, 1 - \frac{\mathrm i}{2}\right\} \end{eqnarray*}$

PS: Komplexe Nullstellen treten immer paarweise konjugiert auf.

16.05.2005, 13:55

mercany

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Jetzt wärs für Kalendria eigentlich mal ne Aufgabe, die Linearfaktoren von von Gleichung zu nennen. Ganz easy! Augenzwinkern

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