Nullstellen, Extrempunkte, Tangentengleichung

16.05.2005, 14:17

rian

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Nullstellen, Extrempunkte, Tangentengleichung

Ich habe folgende Aufgabe bekommen und weis nicht wie ich sie rechnen soll.

Ein Metallstreifen ist im Koordinatenursprung befestigt und liegt mit seinem losen Ende auf einem U-Profil auf. Infolge einer bestimmten Belastung biegt sich der Metallstreifen durch. Er folgt dem Funktionsverlauf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{5}-2 x^{3} \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie die größte Auslenkung des Metallstreifens aus der Nulllage und geben sie diesen Extrempunkt an.
b) Welche Tangentengleichung besitzt dieser Metallstreifen am losen Ende (Auflagepunkt) des U-Profils?
c) Wie groß ist der Winkel zwischen der Horizontalen und dem Metallstreifen am Auflagepunkt?

könntet ihr mir vielleicht bei der aufgabe helfen? Ich habe echt keine Ahnung.

16.05.2005, 14:19

iammrvip

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RE: Nullstellen, Extrempunkte, Tangentengleichung
Hallo Wink

Wink

Zitat:

Original von rian
Er folgt dem Funktionsverlauf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{5}-2 x^{3} \end{eqnarray*}$

Leider ist hier gar keine Funktion gegeben verwirrt

verwirrt

Eine Funktion hat die Gestalt

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2}x^5 - 2x^3 \end{eqnarray*}$

Was du das stehen hast, ist nur ein Term.

Was hast du dir denn schon überlegt?

16.05.2005, 14:38

rian

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RE: Nullstellen, Extrempunkte, Tangentengleichung
zunächst mache ich die 1. Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2,5x^{4}-6 x^{2} \end{eqnarray*}$

Richtig? Wie berechne ich nund die Extrempinkte? ich weis nicht wie ich sie gleich null setze. Durch 2,5? und dann pq Formel?

16.05.2005, 14:41

iammrvip

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Nein nicht so kompliziert.

Merken: Ein Produkt wird immer dann 0, wenn ein Faktor 0 wird.

Du kannst hier nämlich erstmal $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Was erhälst du dann verwirrt

verwirrt

16.05.2005, 14:53

rian

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ok dann habe ich die a) soweit hinbekommen. -1,549 1,549 und 0 sind extremwerte bei 1,549 liegt das minimum.

Aber wie mache ich b? verwirrt

verwirrt

16.05.2005, 14:57

iammrvip

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Stimmt

Augenzwinkern

. Du musst nun noch den Punkt $\begin{eqnarray*} P\left(2\sqrt\frac{3}{5} \approx 1.55 | f\left(2\sqrt\frac{3}{5}\right) = ...\right) \end{eqnarray*}$ angeben.

Bei b) verstehe ich diese Aufgabe so, dass das die Nullstelle auf der positven x-Achse gemeint. Also musst du dort die Tangentengleichung bestimmen.

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16.05.2005, 14:58

rian

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Genau das ist mein Problem. Ich weis nicht wie man eine Tangetengleichung bestimmt.

16.05.2005, 14:59

iammrvip

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Kennst du schon die Punktrichtungsgleichung der Ebene verwirrt

verwirrt

Nein oder

verwirrt

Aber du kennst doch:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \end{eqnarray*}$

oder?

16.05.2005, 15:03

rian

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meinst du mit Punktgleichung

$\begin{eqnarray*} yT=mx+b \end{eqnarray*}$

16.05.2005, 15:07

iammrvip

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Nein, das die allgemeine Form einer Geraden was die Tangente ja ist.

Nehmen wir mal die Gleichung für den Anstieg:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{y - y_0}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

und stellen wir etwas um:

$\begin{eqnarray*} m &= \frac{y - y_0}{x - x_0} \\ (x - x_0)m &= y - y_0 \\ (x - x_0)m &= y - y_0 \\ y &= m(x - x_0) + y_0 \end{eqnarray*}$

Nun setzen wir noch $\begin{eqnarray*} y_0 = f(x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m = f'(x_0) \end{eqnarray*}$ , dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$

das bezeichnet man als Tangentengleichung, die aus der Punktrichtungsgleichung hervorgeht.

Diese Gleichung kannst du jetzt nehmen und die Tangenten berechnen.

16.05.2005, 15:15

rian

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x0 ist doch 0 oder?

16.05.2005, 15:15

rian

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was muss ich wo einsetzen?

16.05.2005, 15:19

iammrvip

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So wie ich b) verstehe meine sie damit die Nullstelle auf der positiven x-Achse, also

$\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$

Du musst nun einfach einsetzen, die Stelle ist $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$

somit:

$\begin{eqnarray*} y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \Rightarrow y = f'(2)(x - 2) + f(2) \end{eqnarray*}$

jetzt musst das nur noch berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

16.05.2005, 15:22

rian

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also muss ich aus f(x) ersteinmal die Nullstelle berechnen

16.05.2005, 15:27

iammrvip

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Ja mal eine Skizze zum Sachverhalt mit der Tangente:

16.05.2005, 15:30

rian

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wie rechne ich bei einer gleichung mit
$\begin{eqnarray*} x^{5} \end{eqnarray*}$

die nullstelle aus?

16.05.2005, 15:34

iammrvip

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Klammer erstmal $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

16.05.2005, 15:37

rian

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dann habe ich

$\begin{eqnarray*} x^{3} (\frac{1}{2} x^{2}-2) \end{eqnarray*}$

dann habe ich x0=0 und das andere kan ich nicht rechnen weil man aus einer negativen zahl nicht die wurzel zeihen kann

16.05.2005, 15:39

iammrvip

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Nein, du musst das ja 0 setzen, also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2 - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

dann erhälst du zwei Lösungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

16.05.2005, 15:50

rian

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ich teile durch 1/2 und dann hab ich

x²-1=0

dann bekomme ich +/- 1 raus

16.05.2005, 15:57

iammrvip

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Nein du rechnest doch erstmal + 2 und danach * 2

also

$\begin{eqnarray*} x^2 = 4 \end{eqnarray*}$

16.05.2005, 16:04

rian

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wenn ich einsetze bekomme ich

y=(40-12)(x-2)+0

und jetzt?

16.05.2005, 16:18

iammrvip

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und 40 - 12 = ...

dann hast du die Gleichung Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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