Ableitung,DQ Haufenprobleme

16.05.2005, 15:46

chrisk

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Ableitung,DQ Haufenprobleme

Hi
wir machen momentan DQ,Ableitung,Extremstellen usw.

Einiges hab ich ja auch verstanden aber zuvieles nicht ! Hilfe

Hilfe

Hammer

A.)

Es gibt z.B son AufgabenTyp da soll man Tangente und Normale ausrechnen!

f(x)=x³-4x

1.)Bestimmen sie die Gleichungen der Tangente und der Normalen
von f im Ursprung (0|0)

2.)Die Normale des Graphen von f im Ursprung schneidet den Graphen on zwei weiteren Punkten S und T . Berechnen sie diese .

Zu.1)
f(x)=x³-4x
f'(x)=3x²-4

Hab da y=0 und y'=-4 raus aber weiß
A.)nich weiter
B.)ob dat überhaupt damit im Zusammenhang steht

Die Ergebnisse sollen Tangente = y= -4x
Normale = y= 1/4x sein .

Wenn ihr jemand dazu Tipp oder am besser noch beschriebenes Beispiel zeigen könnte wäre toll .

Zu2.) da hab ich nich den blassesten Schimmer was die von mir wollen !

B.) die Ableitung ist ja $\begin{eqnarray*} n^x = x*n^x-1 \end{eqnarray*}$

Nur sollen wir die auch "zur Fuß" ausrechnen können .
Deshalb hab ich mir irgendwann dazu mal Beispielblätter gemacht ,
nur verwirrt mich da eine Sache sehr !

Also
f(x)= 3/x ; x0= 2

Gesucht : f'(?)

1.)DQ berechnen

(3/x - 3/2) / (x-2)
=-3/2x

2.)Grenzwert DQ Bestimmen

lin -3/2x = -3/4 <-|Wie kommt man an die 3/4 ?? Durch einsetzen der 2??
x-> <-|müsste da nich noch was folgen ??

3.)Ableitung zeichen

Den teil spar ich mir jetz mal ...

Ok ich weiß dat isn bissl viel auf einmal aber ich hoffe trotzdem
dat mir jemand helfen kann denn ich schreibe diese Woche noch klausur
und Mathe ist dat einzigste Fach wo die Klausuren in Sand setzen kann ...

16.05.2005, 16:23

MisterMagister

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Mach dir doch erstmal folgendes klar:
(1) Was genau stellt die Ableitung in einem bestimmten x (hier (0|0)) dar?
(2) Was ist eine Tangente?

Mit "Normale" meinst du wahrscheinlich eine Gerade die senkrecht auf der Tangente steht, richtig?

16.05.2005, 16:54

Vannie

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Arbeite grad an Antwort...

16.05.2005, 17:14

chrisk

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1.)die Ableitung ist die Steigung die einer graden in dem Punkt wo sie die
Parabel 2.)tangiert in einem Punkt berührt aber nicht schneidet ..

So hab ich's verstanden oder ??

thx to Vannie !

16.05.2005, 17:19

MisterMagister

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Der Kern ist:
(1) Die Ableitung in x ist die Steigung der Tangente in x.
(2) Eine Tangente ist eine Gerade die in genau einem Punkt schneidet.

Wenn wir also die Tangente in (0|0) suchen, dann suchen wir eine Gerade die eben diese Eigenschaften erfüllt.

Geraden sind immer der Form:
g(x) = mx + n

Was ist nun die Steigung von g und wie kommen wir auf die Geradengleichung?

16.05.2005, 17:24

chrisk

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m die Steigung müsste doch = der Ableitung sein oder ??
und n der Y Achsenschnittpunkt müsste 0 sein weil da solls ja durchgehen ..

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16.05.2005, 17:30

MisterMagister

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Ganz genau! Die Steigung ist die Ableitung in 0, das heißt m = f'(0).
Für der Y-Achsenabschnitt gilt:
g(0) = 0 und g(0) = f'(0)*0+n also ist n = 0 (denn 0 liegt auf der Tangenten g).

Wenn wir jetzt eine beliebige Gerade h(x) = mx+n haben. Was ist dann die Steigen einer Normalen von h?

16.05.2005, 17:35

Vannie

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Hi,

zu A) 1.

Also die 1.Ableitung hast du ja schoneimal richtig.
Und bekannt ist hoffentlich auch, dass die 1.Ableitung die Steigung der Tangenten ist, in deinem Fall ist die Tangente im Punkt P(0/0) gesucht, somit auch die Steigung der Tangenten im Punkt P(0/0).

Berechnen wir zuerst diese:

Man weiß ja, dass

f'(x) = x³ - 4 ist.

Jetzt wollen wir ja die Steigung im Punkt P berechnen, also berechnen wir

f'(0) = 0³ - 4 = -4.

Also ist -4 die Steigung der Tangente im Punkt P(0/0).

Als nächstes stellen wir die Gleichung der Tangenten auf.
Sagt dir dir Punkt-Steigungsform etwas? Es gilt ja:

F'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_o)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

Jetzt lösen wir das ganze nach f(x) auf, da eine Funktion ja immer so aussieht: f(x) = m*x + c.

Danach erhalten wir das:

f(x) = f'(x) * (x- $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ) + f( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )

Da du ja den Punkt P(0/0) gegeben hast, ist dein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ = 0 und dein f( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ) = 0.

Deine Steigung, also f'(x) haben wir oben ja berechnet, -4.

Bleibt dann nach einsetzen der Werte folgendes übrig:

t: y= - 4 (x - 0) + 0
t: y= -4

Wenn zwei geraden senkrecht zueinander sind, gilt ja: $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ = -1. Also gilt hier analog dann:

$\begin{eqnarray*} m_t \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ = -1. Jetzt löst du nach $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ auf, also ergibt sich für die Steigung der Normalen folgendes:

- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m_t} \end{eqnarray*}$

Und jetzt machst du das wie oben bei der tangentengleichung und setzt die Werte ein.

Dann wirst du sehen, dass

n: y=1/4x herauskommt.

Zu 2:

Wir wissen ja folgendes:

f: y= x³ - 4x
n: y=1/4 x

Jetzt setzen wir beide Gleich und bringen beides auf eine Seite:

x^3 - 4x = 1/4 x | - x³ + 4x

- x³ + 17/4 x = 0

x² (-x² + 17/4) = 0

jetzt wissen wir, dass eine schnittstelle schonmal 0 sein muss, also

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ = 0

Jetzt müssen wir noch schauen, wann das gilt:

-x² + 17/4 = 0

Sieht man schnell:

Bei $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir drei Schnittstellen:

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ = 0, $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ = - $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchen wir noch die y-Koordinaten, dazu setzen wir die drei x-Werte in f(x) ein:

f(0) = 0³ - 4*0 = 0

$\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ (0/0)

f( $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ ³ - 4* $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$

kannst du ja selbst berechnen

$\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ /f( $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ ))

und

f(- $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ ) = - $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ ³ - 4*- $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ (- $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ /f(- $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ ))

Achtung: Klammern beim eingeben nicht vergessen.

Zu deiner Überprüfung müssen die Schnittpunkte folgende sein:

$\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ /0,52)

$\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ (- $\begin{eqnarray*} \sqrt{17/4} \end{eqnarray*}$ /-0,52)

Also sind $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ wohl deine Punkte S und T Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

16.05.2005, 17:45

chrisk

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hey kewl
auf dem weg war ich auch nur die
Ergebnisse die hier stehen haben mich verwirrt
0,5\sqrt{x} 17, 0,125\sqrt{x} 17

aber ist ja dat selbe ...

Jo richtig dickes DANKE ..

16.05.2005, 17:48

Vannie

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Wegen B: Was ist dir da genau unklar? Wie man DQ berechnet weißt du ja, oder? Und dass der DQ der Sekantensteigung entspricht, weiß du auch, oder?
Wenn sich dann x dem $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ annähert, geht die Sekante irgendwann in die Tangente über, deswegen muss man für die tangentensteigung auch den Grenzwert der Sekantensteigung berechnen.

grenzwert wird immer so aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$

2 ist dein $\begin{eqnarray*} x_o \end{eqnarray*}$ , also einfach die 2 für x einsetzen am Schluss.

PS: Bitte, Bitte, macht ja Spaß Wink

Wink

16.05.2005, 17:53

chrisk

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ja ich hab mir 3 beispiele aufgeschrieben
und eigentlich sollten alle richtig sein !!
aber nur bei dem was ich gepostet hab
konnte ich erkennen das man bei x0 den "Ursprungswert" einsetzt
bei den anderen konnte ich keinen zusammenhang finden
deshalb war chriskilein verwirrt
und dat is halt ziemlich ungut 2 tage vor der klausur
bei sowas einfachem verwirrt zu sein ...

ich mach jetz ma weiter
aber ich werd garantiert noch Fragen haben
also dein Spass ist gesichert Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

1.)DQ berechnen

(3/x - 3/2) / (x-2)
=-3/2x

Da macht man doch Polynomdivision oder ??
Die anderen beiden Beispiele sind nämlich bockmist aber die Ergebnisse stimmen die haben wir in der schule bestägigt bekommen ...
deshalb bin ich so verwirrt

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

16.05.2005, 19:00

MisterMagister

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$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
Also in deinem Fall:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{3}{x}-\frac{3}{x_0}}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
Wenn du jetzt für x die $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einsetzten würdest, würde im Nenner die Null stehen und das geht nicht. Aber wir können das noch umformen.
Erstmal den Zähler auf einen Hauptnenner bringen:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{3x_0-3x}{x \cdot x_0}}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
Das ist dasselbe wie:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} (\frac{3x-3x_0}{-x \cdot x_0} \cdot \frac{1}{(x-x_0)}) = \lim_{x \to x_0} (\frac{3(x-x_0)}{-x \cdot x_0} \cdot \frac{1}{(x-x_0)}) \end{eqnarray*}$
Der Term $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ kann nun gekürzt werden und dann erhält man:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}\frac{3}{-x \cdot x_0} = -\frac{3}{(x_0)^{2}} \end{eqnarray*}$

Das ist genau dasselbe wie:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3}{x} = 3 \cdot x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -1 \cdot 3 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot 3 \cdot x^{-2} = -\frac{3}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

16.05.2005, 19:05

chrisk

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hhmm verstehe so in etwa was du da machst
aber dat haben wir nie gemacht ..
ich weiß auch dat man mit dem limes irgendwas rechnen kann
da meinte der lehrer aber dass lassen wir mangels zeit

16.05.2005, 19:07

MisterMagister

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Mach dir das einfach nochmal auf 'nem Blatt Papier klar, indem du für alle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die Zahl 2 einsetzt und das mit dem Limes weglässt.
Wichtig is auf jeden Fall, dass du hier keine Polynomdivision anwenden kannst.

16.05.2005, 19:17

chrisk

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Zitat:

Wichtig is auf jeden Fall, dass du hier keine Polynomdivision anwenden kannst.

den Satz wollt ich hören !

ok schreib mir jetz nochma alles exemplarisch auf
und dann schau ich mir noch hoch,tief und sattelpunkte an
aber dat hätte ich einigermaßen verstanden ..

vielen dank

16.05.2005, 19:20

MisterMagister

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Wink

Viel Spaß dabei.

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