Übungsklausur... :(

16.05.2005, 16:07

Millhouse

Übungsklausur... :(

hallo,
habe hier eine übungsklausur, komme aber schon hier ins stottern... also:

Gegeben sind die Punkte A(1|6|-5), B(7|9|1), C(4|3|7) und D(-16|-8|-2) sowie die Gerade
$\begin{eqnarray*} g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}; s \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Die Punkte A, B und C liegen in der Ebene E.

1. Zeigen sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist
- das habe ich mit pythagoras gemacht, nachdem ich die längen der seiten ausgerechnet hatte. gibt es da noch eine elegantere lösung?

dadurch habe ich auch gesehen, dass das dreieck gleichschenklig ist (AB und BC sind gleich). ich dachte, das könnte ich dann beim nächsten aufgabenteil verwenden:

2. Berechnen sie den Flächeninhalt.
-das habe ich dann so gelöst:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \mid \vec{CA} \mid \cdot \mid \frac{1}{2} \vec{CA}- \vec{OB} \mid \end{eqnarray*}$

aber damit komme ich auf eine fläche von ca. 84,79FE, und das scheint mir etwas viel zu sein... oder irre ich? und gibt es eine allgemeine lösung dafür im R³? ich meine wenn das dreieck jetzt nicht gleichschenklig wäre - wie könnte man dann eine höhe bestimmen?
fragen über fragen...
und ich bedanke mich im voraus für die antworten.

16.05.2005, 17:07

MisterMagister

Auf diesen Beitrag antworten »

Pythagoras finde ich schon elegant genug.

Der Flächeninhalt ist allerdings falsch. Ich weiss nicht wie du auf diese Formel kommst, aber der Flächeninhalt eines Dreickes ist:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h \end{eqnarray*}$
wobei g die Grundseite und h die Höhe des Dreiecks ist und die Höhe steht natürlich im rechten Winkel zur Grundseite, sonst ist es keine Höhe.

Der rechte Winkel des Dreiecks liegt bei B, also kann ich entweder AB oder BC als Grundseite wählen und die andere als Höhe, also:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \end{eqnarray*}$

Macht bei mir 40,5.

16.05.2005, 17:35

Millhouse

Auf diesen Beitrag antworten »

huch... da habe ich jetzt den wald vor lauter bäumen nicht mehr gesehen... ich habe die hälfte des vektors CA genommen und dann als höhe halt die hälfter von CA - ortsvektor von B... aber ist hier in der tat irgendwie schwachsinnig und wie ich grade merke auch ziemlich falsch smile

naja, weiter gehts:
3. Welche der Punkte A, B, C liegen auf der Geraden g1?
- d fällt mir jetzt nur gleichsetzung ein... oder kann mans noch anders lösen?

16.05.2005, 17:47

MisterMagister

Auf diesen Beitrag antworten »

Einsetzen is 'ne Möglichkeit oder:

A,B und C bilden ein Dreieck, also können ja schonmal maximal 2 auf der Geraden liegen. Die Richtungsvektoren AB, BC, AC hast du bereits berechnet, wenn keiner von denen eine Vielfaches von (2,1,2) kann es maximal nur noch einer sein, aber man sieht ja schon:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} =3 \cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also kannst du die Gerade durch A und B aufstellen und mit g1 schneiden, dann gibt es:
a) keinen Schnittpunkt => kein Punkt liegt auf g1
b) unendlichviele Schnittpunkte => die Geraden sind gleich => A und B liegen auf g1

Im Fall a) muss man dann aber trozdem noch untersuchen ob C auf g1 liegt den die Geraden können ja auch parallel sein.

16.05.2005, 19:04

Auf diesen Beitrag antworten »

Also kannst du die Gerade durch A und B aufstellen und mit g1 schneiden, dann gibt es:

eleganter Lösungsweg MisterMagister. Augenzwinkern

Hier am besten dann mit der sogennanten "Zweipunkte Gleichung" arbeiten.

Habe hier aber auch noch mal was zum Flächeninhalt.Wenn man das Skalarprodukt durchgenommen hat,dann gibt es folgende explizite Formel zur Berechnung der Flächeninhalte von Parallelogrammen UND Dreiecken.Die sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2}*b^{2}-(a*b)^{2}} \end{eqnarray*}$

Beim Dreieck muss man nur noch den Faktor 1/2 davor setzen.

a und b sind hier durchweg Vektoren.So kommt man auch relativ schnell auf die 40,5.

16.05.2005, 19:16

MisterMagister

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte nachprüfen ob es nen Schnittpunkt gibt unglücklich

.
Aber ich glaube am schnellsten geht das echt, wenn mann einfach die Punkte einsetzt. Man kann sich da nicht wirklich was sparen.

16.05.2005, 19:51

Millhouse

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für beide antworten, aber ich bin dann doch lieber beim gleichsetzen geblieben, da mir dies am simpelsten erschien... ich weiß jetzt, dass A und B auf der Geraden liegen.

also weiter:

4.
Bestimmen sie eine Koordinatengleichung von E.

hm... da bin ich jetzt wirklich etwas überfragt... also ich kann glaub ich die parameterform aufstellen:
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -7 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber wie komme ich jetzt an die KO-Form? dafür brauche ich doch erst die normalform, oder? aber wie man die aufstellt, weiß ich leider auch nicht... unglücklich

16.05.2005, 20:04

Auf diesen Beitrag antworten »

gar nicht so schwer.

Kurz nochmal die Definition wie man auf die Parameterform kommt: Wenn A,B,C drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte sind,so hat die A,B,C enthaltende Ebene die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \vec{a}+r( \vec{b}- \vec{a})+s( \vec{c}- \vec{a}) \end{eqnarray*}$

So kannst du deine Parameterform erstellen.

Auf die Koordinatengleichung kommt man,indem man einen Punkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nimmt und ihn gleichsetzt mit der Parameterform.So erhälst du ein LGS,indem du die Parameter r und s eliminieren musst,sodass am ende nur x,y,z auftritt

16.05.2005, 20:12

Millhouse

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von n!
So erhälst du ein LGS,indem du die Parameter r und s eliminieren musst,sodass am ende nur x,y,z auftritt

hm... was ist eine LGS? und was für einen punkt muss man da gleichsetzen? einen beliebigen oder einen, der auf der Ebene liegt? und wenn man keine parameter mehr hat, kommt doch am ende nur noch ein punkt raus, oder? irgendwie kann ich das verfahren jetzt nicht so ganz nachvollziehen... traurig

16.05.2005, 20:21

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

antwort
ein LGS ist ein LÖSUNGSSYSTEM!!

16.05.2005, 20:25

Auf diesen Beitrag antworten »

@millhouse

wenn deine Parameterform korrekt ist,dann geht die Koordinatengleichung so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -7 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so,jetzt haben wir einen Punkt gleichgesetzt mit der Prameterform.Wenn du jetzt das LineareGleichungsSystem aufstellst,dann musst du die Parameter r und s eliminieren

ach ja,und wenn man keine Parameter mehr hat,dann hat man noch immer x,y,z am Ende und das sagt die Koordinatengleichung ja aus: ax+by+cz=d

16.05.2005, 20:33

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
ein LGS ist ein LÖSUNGSSYSTEM!!

Möglicherweise meinst du das gleiche, aber ich kenne es als Abkürzung für Lineares Gleichungssystem.

17.05.2005, 17:31

Millhouse

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, aber ich glaube ich verstehe nicht ganz, was du mit eliminieren meinst? wie mache ich das? ich meine... wie müsste denn die erste zeile dann heißen?
etwa: x = -1 + 6r + 3s? und dann nach r oder s auflösen und in die "y-zeile" einsetzen..? oder wie jetzt? wäre es nicht einfacher, es in die normalform zu bringen und dann die KOF zu berechnen?

//edit: ich sehe auch grade, dass man später eine gerade noch mit der ebene schneiden muss, da wäre die normalform der ebene also vielleicht wirklich ganz nützlich - aber wie stellt man sie auf - bzw. wie berechnet man den normalenvektor?

Neue Frage »

Antworten »

Übungsklausur... :(

Verwandte Themen