Eigenwerte,Eigenvektoren

16.05.2005, 18:39

KeinPlan2

Eigenwerte,Eigenvektoren

So also hier die Aufgabe:

Zeigen Sie: Die Eigenwerte einer nxn-Matrix sind genau die Elemente k Element K, für die es einen von Null verschiedenen Spaltenvektor x gibt mit Mx=kx

Also ich sortier das mal:

"-->" Ist k Eigenwert so gilt Mx=kx

"<---" gilt Mx=kx dann ist k Eigenwert

zu <-----

Also Mx=kx ist gleichbedeutend mit Mx-kx=0
gleichbedeutend mit (M-k*E)x=0

So daraus soll nun folgen, dass k ein Eigenwert ist. Folgt daraus dann auch, dass x ein Eigenvektor ist??

16.05.2005, 19:36

JochenX

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wie habt ihr eigentlich eigenwert definiert?

Zitat:

Zeigen Sie: Die Eigenwerte einer nxn-Matrix sind genau die Elemente k Element K, für die es einen von Null verschiedenen Spaltenvektor x gibt mit Mx=kx

das ist doch mehr oder weniger die definition?

16.05.2005, 20:31

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Eigenwert ist der Vektor für den gilt:

f(v)=kv ,v ungleich dem Nullvektor k ist der dazugehörige Eigenwert.
Ich interpretier die Antwort mal als "ja"

16.05.2005, 20:59

JochenX

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also sei M die darstellungsmatrix von f:V->V
dann gilt: f(v)=Mv (definition der darstellungsmatrix)

also f(v)=Mv=kv, k eigenwert von f, also auch bzgl der darstellungsmatrix M

von "ja" habe ich nichts gesagt

mfg jochen

ps: wer den witz erkennt sage ihn mir

17.05.2005, 16:12

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das f(v)=Mv blick ich nicht so ganz.

Man kann doch die Abbildung bezüglich einer beliebigen Basis darstellen...

Also z.B. f(x,y)=(x+y,x-y)

Wähle als Basis {(1,0) (0,1)}

f(1,0)=(1,1) f(0,1)=(1,-1) die Matrix bezüglich dieser Basis sieht also so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun wählt man eine andere Basis, z.B: {(1,1),(0,1)}

f(1,1)=(2,0) f(0,1)=(1,-1)

die Matrix sieht dann folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn man da jetzt nen Vektor dranmultipliziert kommt nicht das gleiche raus und wenn man in die Abbildung z.B.: (2,2) einsetzt erhält man was anderes man nicht das Gleiche wie beim Multiplizieren von der zweiten mMatrix mit dem Vektor (2,2).

19.05.2005, 17:41

total verzweifelt

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So hab nochmal ne frage:

Wenn man ne Matrix bezüglich f und einer Basis B gegeben hat, so kann man ja die Abbildung nicht explizit angeben weil man die Basis nicht kennt. Man weiß dann ja nur, dass der Basisvektor v_i auf eine bestimmte Linerakombination von Basisvektoren abgebildet wird.
Wenns nicht stimmt bitte laut schreien und korrigieren!!

So jetzt kommt die Aufgabe an der ich häng:

Es geht darum zu bestimmen ob M diagonalisierbar ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann bestimmt man das charakteristische Polynom, dieses lautet:

$\begin{eqnarray*} -(x-2)^2(x+2) \end{eqnarray*}$ Nun muss man prüfen ob Eig(M,2) die Dimension 1 oder 2 hat. Sei v=(a,b,c) ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 von M. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \\ 2c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das versteh ich schon nicht. Wieso klappt das?

So als Ergebis (wie man das ausrechnet weiß ich wenigstens!!) erhält man dann:

Eig(M,2)={(a,0,-2a) mit a in IR} also dim 1, also nicht diagonalisierbar
So und jetzt versteh ich wieder das Gleiche nicht:
Wieso kann man jetzt sagen, dass z.B: der Vektor (1,0,-2) ein Eigenvektor ist??

Müsste nicht eher der Vektor $\begin{eqnarray*} a*v_1+0*v_2+(-2)*v_3 \end{eqnarray*}$

ein Eigenvektor sein? Oder ist das vuielleicht so und ich blick nur nicht ganz, was es mit 2Eig(M,2)={(a,0,-2a) mit a in IR}" auf sich hat.

Hilfe

Wer mir hilft kriegt nen imaginären Kaffe!!

20.05.2005, 08:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von total verzweifelt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \\ 2c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das versteh ich schon nicht. Wieso klappt das?

Worauf bezieht sich jetzt die Frage? Da 2 ein Eigenwert ist, gibt es zwangsläufig einen geeigneten Eigenvektor (a,b,c) mit:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \\ 2c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von total verzweifelt
Eig(M,2)={(a,0,-2a) mit a in IR} also dim 1, also nicht diagonalisierbar
So und jetzt versteh ich wieder das Gleiche nicht:
Wieso kann man jetzt sagen, dass z.B: der Vektor (1,0,-2) ein Eigenvektor ist??

Wie du selbst feststellst, ist Eig(M,2)={(a,0,-2a) mit a in IR}. Setze a=1, also ist auch der Vektor (1,0,-2) ein Eigenvektor.

Zitat:

Original von total verzweifelt
Müsste nicht eher der Vektor $\begin{eqnarray*} a*v_1+0*v_2+(-2)*v_3 \end{eqnarray*}$
ein Eigenvektor sein? Oder ist das vuielleicht so und ich blick nur nicht ganz, was es mit Eig(M,2)={(a,0,-2a) mit a in IR}" auf sich hat.

Nein.

Was sollen den die v_1, v_2 und v_3 sein? Eig(M,2)={(a,0,-2a) mit a in IR} heißt, daß alle Vektoren, die die Form (a,0,-2a) mit a aus IR haben, sind Eigenvektoren. Man schreibt auch: Eig(M,2)={a*(1,0,-2) mit a in IR}

20.05.2005, 14:29

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@ klarsoweit

man weiß doch überhaupt nicht bezüglich welcher Basis die Abbildung in der Matrix dargestellt wurde.

Ich bin mir inzwischen fast sicher, dass der Vektor (a*v1-2a*v3 ) also eine Linearkombination aus den Basisvektoren mit denen M erstellt der Eigenvektor ist. Besteht die Basis zufällig aus den Einheitsvektoren dann ist in der Tat ein Eigenvektor zum Eigenwert zwei von der Form a*(1,0,-2)

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