3te wurzel aus einer 6stelligen zahl???

16.05.2005, 21:29

timmy

3te wurzel aus einer 6stelligen zahl???

haloo
ich hoffe mir kann jemand helfen

ich muss die 3te wurzel aus einer sechstelligen zahl berechnen können jedohc ohne taschenrechner

wer weiß wie das geht???

16.05.2005, 21:42

etzwane

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Ist die 6-stellige Zahl irgendeine beliebige Zahl, oder ist sie eine Kubikzahl, so dass die dritte Wurzel eine ganze Zahl ist ?

16.05.2005, 21:44

chrissi

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ja sie soll eine ganze zahl ergeben

also ich kenn da ein tolles verfahren das für ganze zahlen gilt so en kleiner trick, wenn du das meinst timmy???

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

16.05.2005, 21:49

sqrt(2)

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Im Prinzip lässt sich das Problem
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a}=x \end{eqnarray*}$
umformen zu
$\begin{eqnarray*} a=x^3 \Rightarrow x^3-a=0 \end{eqnarray*}$
und lässt sich dementsprechend mit dem Newtonverfahren nach
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-a}{2x_n^2} \end{eqnarray*}$
nähern.

16.05.2005, 21:53

etzwane

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na gut, dann machen wir das mal anhand eines Beispiels:

Wir suchen die 3. Wurzel aus 300763.

Wir teilen diese Zahl auf in 3er-Gruppen von hinten und erhalten für die linke Gruppe: 300

Jetzt überlegen wir, welche Zahl zu 3. Potenz erhoben, einen Wert gerade kleiner als 300 ergibt:

1^3 =1
2^3 = 8
3^3 =27
4^3 = 64
5^3 = 125
6^3 = 216
7^3 = 343
8^3 = 512
9^3 = 729
10^3 = 1000

Man erkennt, dass die erste Ziffer der gesuchten Zahl eine 6 sein muss.

Jetzt schaut man auf die letzte Ziffer der rechten 3er-Gruppe, das ist eine 3.

Jetzt schaut man sich die Kubikzahlen der Zahlen von 1 bis 9 an, und erkennt, dass nur bei der 3. Potenz der 7 eine 3 am Ende ist, also ist die gesuchte Zahl 67.

EDIT: Das Verfahren gilt natürlich nur, wenn die 6-stellige Zahl, aus der die 3. Wurzel gezogen werden soll, wirklich eine Kubikzahl einer ganzen Zahl ist

EDIT: weitere Schreibfehler entdeckt und korrigiert Hammer

16.05.2005, 21:56

chrissi

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also ich beschreib das einfach mal

was du dazu wissen musst ist die ganze reihe hoch drei

1^3=1
2^3=8
3^3=27
4^3=64
5^3=125
6^3=216
7^3=343
9^3=729
10^3=1000

hier noch eine hilfe für später:
1, 4,5,6,9,10 diese ziffern bleiben stehen die restlichen ändern sich von 3 zu 7 oder von 7 zu 3

jetzt hast du zum bsp eine zahl 262144 und willst davon die dritte wurzel ziehen

so nimmst du die zahl und teilst sie von hinten nach drei stellen ab
also: 262 144

bei der hinteren zahl ist nur die letzte ziffer von interesse also 4
bei der 4 bleibt die zahl stehen

nun kommt die vordere zahl ins spiel 262
diese liegt über 6^3 jedoch noch unter 7^3 also ist die zahl 6 nur von bedeutung

nun hab ich hier die 6 und von vorhin die 4 das ergibt zusammen die 64
das ist nun das ergebnis

also wenn du das net ganz verstanden hast dann frag nochmal

arrggh war ich wohl zu spät naja jetzt hast es doppelt ;-)

16.05.2005, 22:05

etzwane

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@crissi

gut gemacht, damit sollte dieser Lösungsweg also klar sein.

Aber zur Berechnung der 3. Wurzel aus 681472 fehlt bei dir noch etwas Augenzwinkern

16.05.2005, 22:05

Ari

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Wow, starke sache sowas Big Laugh

Muss man das denn irgendwie beweisen bzw. nachweisen, wie man auf dieses Verfahren kommt??? smile

16.05.2005, 22:08

chrissi

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lach ja die 8^3 jo die hatte ich zuerst doppelt fg und nun gar nicht sorry
ich hoffe doch habe dieses verfahren mal von einem mathegenie beigebracht bekommen
seit ich diesen mann getroffen hab weiß ich dass mathe einfach genial sein kann :-)

16.05.2005, 22:51

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Ari
Wow, starke sache sowas Big Laugh

Ja, finde ich auch. smile

Zitat:

Original von Ari
Muss man das denn irgendwie beweisen bzw. nachweisen, wie man auf dieses Verfahren kommt??? smile

Ich habe von dem Verfahren zwar gerade das erste Mal gehört, aber ich erkläre es mir so:

Die dritte Wurzel aus einer sechsstelligen Zahl ist immer zweistellig, da $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{100000}>46 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{999999}<100 \end{eqnarray*}$ . Eine Lösung hat also die Form $\begin{eqnarray*} 10a+b>46,\quad a\in[4;9],~b\in[0;9] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Die Sache mit der letzten Ziffer ist klar, die letzte Ziffer von $\begin{eqnarray*} b^3 \end{eqnarray*}$ muss mit der letzten Ziffer der 6-stelligen Zahl übereinstimmen, vgl. schriftliche Multiplikation.
Dass man so aus den drei höchstwertigen Stellen alleine $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ablesen kann, ist nur der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} (10(a+1))^3\geq(10a+b)^3 \end{eqnarray*}$ (also wenn nicht noch durch die Addition eines $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die ganze Zahl nicht größer als der auf $\begin{eqnarray*} 10a \end{eqnarray*}$ folgende Zehner in der dritten Potenz wird). Wenn man das umformt zu $\begin{eqnarray*} (10a+10)^3>(10a+b)^3 \end{eqnarray*}$ , ist leicht zu erkennen, dass das immer wahr ist, da $\begin{eqnarray*} b\in[0;9] \end{eqnarray*}$ .

[edit]Was ich ja eigentlich sagen wollte: In große Erklärungsnot wir man wohl kaum kommen... Augenzwinkern

[/edit]

16.05.2005, 22:57

Ari

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*g* ok, werd morgen weiter drüber nachdenken und das nachvollziehen (schon bissl spät). Danke!!!! Wink

16.05.2005, 23:02

chrissi

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hehe damit hab ich jetzt aucuh grad meine probleme hmm..

17.05.2005, 09:53

chrissi

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@sqrt(2)

puah also schon ganz shcön kompliziert deine rechnung verstanden hab ichs jetzt mal
aber bissel kompliziert und wie machste das dann wenn es eine 4 oder 5 stellige zahl ergibt

also bei 13^3 oder 26^3???

17.05.2005, 13:13

timmy

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wow gleich so viel auf einmal

@etzwane
geht das jetzt auch für andere zahlen also wenn ich jetzt die vierte oder füfte wurzel ziehen möchte????

ich danke euch allen mal

17.05.2005, 15:35

sqrt(2)

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Zitat:

Original von chrissi
wie machste das dann wenn es eine 4 oder 5 stellige zahl ergibt

Das hier vorgestellte Verfahren funktioniert für alle Zahlen, deren dritte Wurzel zwischen 10 und 99 liegt, weil alle die als $\begin{eqnarray*} 10a+b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in[1;9],b\in[0;9],~a,b\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ dargestellt werden können und weiterhin gilt $\begin{eqnarray*} (10(a+1))^3\geq(10a+b)^3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von chrissi
also bei 13^3 oder 26^3???

$\begin{eqnarray*} 13^3=2197 \end{eqnarray*}$ , die letzte Stelle ist 7, also ist $\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$ und die vordere Dreiergruppe ist 002, also ist $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ . Die ganze Zahl ist also $\begin{eqnarray*} 10a+b=13 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} 26^3=17576 \end{eqnarray*}$ , die letzte Stelle ist 6, also $\begin{eqnarray*} b=6 \end{eqnarray*}$ und die vordere Dreiergruppe ist 017, also $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von timmy
geht das jetzt auch für andere zahlen also wenn ich jetzt die vierte oder füfte wurzel ziehen möchte????

Mit der vierten Wurzel geht es nicht, schau dir mal folgendes an:
$\begin{eqnarray*} 2^4 = 16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4^4 = 256 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6^4 = 1296 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8^4 = 4096 \end{eqnarray*}$
Die letzte Ziffer ist nicht eindeutig.
Bei der fünften Wurzel ginge es, du musst die Zahl aber in Fünfergruppen einteilen: Die Zahl 205962976 teilst du auf in 02059 und 62976. $\begin{eqnarray*} 6^5=7776 \end{eqnarray*}$ , daher ist die letzte Ziffer 6 und $\begin{eqnarray*} 4^5=1024<2059<3125=5^5 \end{eqnarray*}$ , daher ist die zweite Ziffer 4 und damit die Lösung 46.

13.07.2010, 15:03

Damian0101

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Sinnlos
Wenn man schon solch einer Formel zitiert, dann sollte man diese auch erklären können oder es lieber ganz sein lassen! Hier geht es schließlich ums verstehen und nicht darum die Leute mit Formeln noch mehr durcheinander zu bringen. Aber liegt wohl daran das du nicht in der Lage bist zu erklären! Was du da beigetragen hast ist nichts ganzes und für einen leihen völlig nutzlos! Trotzdem weiterhin viel Spaß sinnlose Einträge zu verfassen. Zeugt nämlich mehr von deiner Unfähigkeit als von irgendetwas anderem! Wenn du dich nur mit Formeln unterhalten willst such dir ein entsprechendes Board oder pass dich gefälligst an!

13.07.2010, 15:09

Equester

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Es ehrt dich die Bordinteressen zu vertreten.
Aber man kann es zuerst mit einem höflichen Ton versuchen Augenzwinkern

Abgesehen davon solltest du mal einen kleinen Blick auf das Datum werfen.
Ich glaube kaum, dass der angesprochene noch aktiv dabei ist Wink

13.07.2010, 15:42

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@Damian0101

Ich habe sqrt(2) immer sehr geschätzt für seine Beiträge, und bedaure sehr, dass er nicht mehr im Board aktiv ist.

Um so mehr muss ich sagen, dass dein Beitrag eben an grenzenloser Dummheit nicht mehr zu überbieten ist. Vielleicht lässt du es in Zukunft einfach sein, dich in Diskussionen einzumischen, von denen du nicht einen Hauch verstehst. Das betrifft natürlich insbesondere Diskussionen, die offensichtlich schon lange beendet sind.

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