Ringe |
16.05.2005, 22:39 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ringe habe folgende Aufgabe:Sei R ein kommutativer Ring mit 1.Ein Element a heißt nilpotent,falls a 0 und a^n =0 für ein n N ist.Ein Element e R heisst eine Einheit,falls es ein e' R mit ee'=e'e=1 gibt.Zeigen Sie:Ist q R nilpotent,so ist 1-q eine Einheit. so habe folgene Überlegung dazu gemacht: (R,+,*) Ring mit R,+)abelsch. Gruppe (ab)c=a(bc) a,b,c element aus R 1a=a a element aus R a(b+c)=ab+ac ab=ba diese muss ich zeigen nur wie kann ich das damit verknüpfen? |
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17.05.2005, 01:42 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ringe snooper,snooper,snooper. die lösung für diese aufgabe habe ich selbst in der letzten la-übung an die tafel gekreidet...nur damals war 1 E und q hieß nicht nilpotent sondern war A mit A^n=0 LÖL. hier musst du dir einfach nur das e' aus der aufgabe anschauen und mit dem krempel von oben zeigen, daß das auch elemente des ringes sind...heißer tipp: abgeschlossenheit. teil b ist wesentlich spannender - und wie es ausschaut, werde ich diesbezüglich nochmals das schwarze orakel zu rate ziehen...falls es sowas gibt |
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17.05.2005, 19:15 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ringe (1-q)*e' = e'*(1-q) (1-q)*(1+q+q²+q³+...+q^n-1) = ausmultiplireizen = 1 weil R kommutativ ist gilt das auch mit vertauschten faktoren, kann man aber auch locker zu fuß ausrechnen q^i in R weil R abgeschlossen bzgl. der multiplikation ist. e' in R weil R abgeschlossen bzgl. der addition ist jetzt aufgabenteil b: Jetzt sei R sogar ein körper. beweisen sie für a,b in R: ab = 0, so a=0 oder b=0. folgern sie daraus, dass R keine nilpotenten elemente enthält. ich kann durch wiederspruch zeigen, daß R keine nilpotenten elemente enthält: sei a in R und nilpotent somit ist a in R und a^-1 in R und auch a^(n-1) in R und damit auch a^(n-1)^-1in R (wegen abgeschlossenheit bzgl. der multiplikation) ABER: a^-1 * a^(n-1)^-1 müsste demnach auch in R liegen, tut es aber nicht, denn a^-1 * a^(n-1)^-1 = (a^(n-1)*a)^-1 = 0^-1 grrr!! denn 0 ist im körper aus der multiplikativen gruppe herausgenommen. allerdings bekomme ich es nicht gebacken die erste bedinung zu beweisen. für denkanstöße in die richtige richtung bin ich immer dankbar edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS) |
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17.05.2005, 19:54 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sei ab=0, oBdA a<>0, dann existiert a^-1 in R multipliziere das einfach von links an! schwupps schon fertig. => alle körper sind nullteilerfrei mfg jochen |
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17.05.2005, 20:01 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wofür stand das B in oBdA nochmal ? und wie sieht das mit meinem wiederspruch aus ? kann ich das stehen lassen ? mal faxen beiseite...irgendwie schnall ich noch nicht, was du mir da gegeben hast. sei a*b = 0 das ist die voraussetzung, soweit o.k. und warum kann ich ohne beschränkung der allgemeinheit jetzt a != 0 setzen ? |
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17.05.2005, 20:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ganz offiziell heißt das: ohne Beschränkung der Allgemeinheit soll hier heißen, auch a=0 wäre möglich, aber dann steht die aussage schon da also kann ich (um es spannend zu machen ^^) annehmen, dass a<>0 ist. mfg jochen ps: dein beweis sieht auch irgendwie interessant aus zeigst damit eben direkt die freiheit von nilpotenten elementen (dazusagen a^n=0 solltest du vielleicht noch) ihre einfachere idee: zeige aus a*b=0 folgt a=0 oder b=0 [gemacht] nun, sei a^n=0 für ein n>0 (wähle minimales n) annahme: a<>0 => n>1 dann kannst du a^n=a*a^(n-1) schreiben, annahme a<>0, dann wäre, da a<>0 a^(n-1)=0, aber das steht im widerspruch zu n minimal gewählt |
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17.05.2005, 20:29 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
cool ... danke und viele grüsse simon |
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17.05.2005, 20:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achja und das noch als nachtrag:
weil du ja zeigen sollst, dass es kein von 0 verschiedenes element a gibt, für das ein n existiert mit a^n=0 deswegen ansonsten gern geschehen! edit: oder war die frage auf den ab=0 => a=0 oder b=0 bezogen? da funktioniert das ähnlich für a=0 wäre die implikation ja schon gezeigt, also nur der fall a<>0 interessant kannst auch FALLUNTERSCHEIDUNG machen |
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17.05.2005, 20:36 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das war aber noch zum ersten beweis. das mit dem nichtvorhandensein der nilpotenten elemente kam erst später edit: hat sich ja gerade geklärt |
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17.05.2005, 20:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie oben schon gesagt, aber gerne genauer zz. ab=0 => a=0 oder b=0 sei nun ab=0 FALL1: a=0 => behauptung [dieser teil ist trivial! kann man einfach oBdA ausschließen] FALL2: a<>0 =>...... klar nun? edit: naja, dein edit ^^, aber doppelt hält besser |
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17.05.2005, 20:54 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
egal, ich stell es trotzdem nochmal rein. in einer abgabereifen version, wie ich hoffe 1) zu zeigen: ab=0 ==> a=0 oder b=0 wenn a != 0 dann exist. ein a^-1 in R somit: a^-1*a*b = a*^-1*0 <=> b = 0. wenn b != 0 dann exist. ein b^-1 in R somit: a*b*b^-1 = 0*b^-1 <=> a = 0 2) warum es keine nilpotenten elemente in einem körper gibt - ein beweis duch widerspruch: sei c ein nilpotentes element und c^n = 0 für ein n>0, wobei n minimal gewählt wurde, d.h. c^m != 0 mit m<n. annahme: c != 0 ==> n>1 es gilt a*b = 0 ==> a=0 oder b=0 a=c, b=c^(n-1) also c*c^(n-1)=0 ==> c=0 oder c^(n-1)=0 GRRR!! ==> widerspruch zum minimal gewählten 'n'. und ? ist das schriftreif ? |
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17.05.2005, 20:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mit deiner letzten antwort kann ich leider nicht viel anfangen tut mir leid edit: okee nach deinem edit, sage ich: gut so "GRRR!!" <-- diese ausdrucksweise gefällt mir gut ^^ |
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18.05.2005, 20:15 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo ich musste mich entschuldigen weil ich nicht antworten konnte..habe meine weissheitszähne raus..naja wie ich sehe seit ihr ja ziemlich weit gekommen...betreff aufgabe teil a...soll man das nur ausmultiplizeiren und man bekommt 1??? also etwa so =1²+q+q²+q³+...+q^n-1-q-q²-q³-...-q^n-2??? sor richtig??? |
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19.05.2005, 22:08 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist d er letzte term denn richtig..... |
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19.05.2005, 22:12 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ne, da fehlt ein wenig was hinten, nämlich -q^(n-1)-q^n richtig ausmultiplizieren! |
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19.05.2005, 22:17 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da fehlt ein wenig was hinten, nämlich -q^(n-1)-q^n also du meinst..ich muss das am ende rauskriegen?? |
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19.05.2005, 22:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, das fehlt beim ausmultiplizieren rauskommen soll 1 |
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19.05.2005, 22:30 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry loed das meinte ich eigentlich...also 1 soll da rauskommen ist mir bekannt..aber was noch fehlte war dies am ende ne?? |
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19.05.2005, 22:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ringe glocke schreibt lapidar:
dem musst du nachgehen, beim ausmultplizieren hattest du aber noch GRRRR, wie glocke sagen würde mfg jochen |
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19.05.2005, 22:45 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ringe also loed..ne ausmultiplizeirt habe ich schon sieh mal nach...1²+q+q²+q^3+q^4+...+q^n-1-q-q²-q³-q^4-...-q^(n-1)-q^n=1 richtig |
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19.05.2005, 22:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zwischenschritt!
direkt nach dem wegheben der meisten vebleibt erst noch 1-q^n, denn das q^n hat keinen partner |
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19.05.2005, 23:01 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
verstehe...aber dieses q^n das ist ja null??dann belibt eins oder |
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19.05.2005, 23:06 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig, genau deswegen! aber das solltest du dazuschreiben! wäre nämlich dieses -q^n da nicht dabei, dann wäre ja jedes element eine einheit und das ist sicher falsch. |
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19.05.2005, 23:10 | Snooper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay dann wäre dies auch erledigt danke noch mal.. |
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