Ringe

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Snooper Auf diesen Beitrag antworten »
Ringe
Hallo zusammen...


habe folgende Aufgabe:Sei R ein kommutativer Ring mit 1.Ein Element a heißt nilpotent,falls a 0 und a^n =0 für ein n N ist.Ein Element e R heisst eine Einheit,falls es ein e' R mit ee'=e'e=1 gibt.Zeigen Sie:Ist q R nilpotent,so ist 1-q eine Einheit.

so habe folgene Überlegung dazu gemacht:

(R,+,*) Ring mitunglücklich R,+)abelsch. Gruppe
(ab)c=a(bc) a,b,c element aus R
1a=a a element aus R
a(b+c)=ab+ac

ab=ba

diese muss ich zeigen nur wie kann ich das damit verknüpfen?
glocke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe
snooper,snooper,snooper.

die lösung für diese aufgabe habe ich selbst in der letzten la-übung an die tafel gekreidet...nur damals war 1 E und q hieß nicht nilpotent sondern war A mit A^n=0 LÖL.

hier musst du dir einfach nur das e' aus der aufgabe anschauen und mit dem krempel von oben zeigen, daß das auch elemente des ringes sind...heißer tipp: abgeschlossenheit.

teil b ist wesentlich spannender - und wie es ausschaut, werde ich diesbezüglich nochmals das schwarze orakel zu rate ziehen...falls es sowas gibt Rock
glocke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe
(1-q)*e' = e'*(1-q)

(1-q)*(1+q+q²+q³+...+q^n-1) = ausmultiplireizen = 1

weil R kommutativ ist gilt das auch mit vertauschten faktoren, kann man aber auch locker zu fuß ausrechnen Augenzwinkern

q^i in R weil R abgeschlossen bzgl. der multiplikation ist.
e' in R weil R abgeschlossen bzgl. der addition ist

jetzt aufgabenteil b:

Jetzt sei R sogar ein körper. beweisen sie für a,b in R: ab = 0, so a=0 oder b=0.
folgern sie daraus, dass R keine nilpotenten elemente enthält.

ich kann durch wiederspruch zeigen, daß R keine nilpotenten elemente enthält:

sei a in R und nilpotent
somit ist a in R und a^-1 in R
und auch a^(n-1) in R und damit auch a^(n-1)^-1in R (wegen abgeschlossenheit bzgl. der multiplikation)
ABER:
a^-1 * a^(n-1)^-1 müsste demnach auch in R liegen, tut es aber nicht, denn

a^-1 * a^(n-1)^-1 = (a^(n-1)*a)^-1 = 0^-1 grrr!! denn 0 ist im körper aus der multiplikativen gruppe herausgenommen.

allerdings bekomme ich es nicht gebacken die erste bedinung zu beweisen. für denkanstöße in die richtige richtung bin ich immer dankbar

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt sei R sogar ein körper. beweisen sie für a,b in R: ab = 0, so a=0 oder b=0


sei ab=0, oBdA a<>0, dann existiert a^-1 in R
multipliziere das einfach von links an!

schwupps schon fertig. => alle körper sind nullteilerfrei

mfg jochen
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

wofür stand das B in oBdA nochmal ? Gott
und wie sieht das mit meinem wiederspruch aus ? kann ich das stehen lassen ?
mal faxen beiseite...irgendwie schnall ich noch nicht, was du mir da gegeben hast.

sei a*b = 0 das ist die voraussetzung, soweit o.k.
und warum kann ich ohne beschränkung der allgemeinheit jetzt a != 0 setzen ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ganz offiziell heißt das: ohne Beschränkung der Allgemeinheit

soll hier heißen, auch a=0 wäre möglich, aber dann steht die aussage schon da
also kann ich (um es spannend zu machen ^^) annehmen, dass a<>0 ist.

mfg jochen



ps: dein beweis sieht auch irgendwie interessant aus
zeigst damit eben direkt die freiheit von nilpotenten elementen (dazusagen a^n=0 solltest du vielleicht noch)

ihre einfachere idee: zeige aus a*b=0 folgt a=0 oder b=0 [gemacht]
nun, sei a^n=0 für ein n>0 (wähle minimales n)
annahme: a<>0 => n>1
dann kannst du a^n=a*a^(n-1) schreiben, annahme a<>0, dann wäre, da a<>0 a^(n-1)=0, aber das steht im widerspruch zu n minimal gewählt
 
 
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

cool ... danke
und viele grüsse simon
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

achja und das noch als nachtrag:

Zitat:
und warum kann ich ohne beschränkung der allgemeinheit jetzt a != 0 setzen ?

weil du ja zeigen sollst, dass es kein von 0 verschiedenes element a gibt, für das ein n existiert mit a^n=0

deswegen

ansonsten gern geschehen!


edit: oder war die frage auf den ab=0 => a=0 oder b=0 bezogen?
da funktioniert das ähnlich
für a=0 wäre die implikation ja schon gezeigt, also nur der fall a<>0 interessant
kannst auch FALLUNTERSCHEIDUNG machen
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

das war aber noch zum ersten beweis. das mit dem nichtvorhandensein der nilpotenten elemente kam erst später
edit: hat sich ja gerade geklärt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wie oben schon gesagt, aber gerne genauer

zz. ab=0 => a=0 oder b=0
sei nun ab=0
FALL1: a=0 => behauptung [dieser teil ist trivial! kann man einfach oBdA ausschließen]
FALL2: a<>0 =>......

klar nun?


edit: naja, dein edit ^^, aber doppelt hält besser
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

egal, ich stell es trotzdem nochmal rein. in einer abgabereifen version, wie ich hoffe

1) zu zeigen: ab=0 ==> a=0 oder b=0

wenn a != 0 dann exist. ein a^-1 in R
somit: a^-1*a*b = a*^-1*0
<=> b = 0.
wenn b != 0 dann exist. ein b^-1 in R
somit: a*b*b^-1 = 0*b^-1
<=> a = 0

2) warum es keine nilpotenten elemente in einem körper gibt - ein beweis duch widerspruch:

sei c ein nilpotentes element und c^n = 0 für ein n>0, wobei n minimal gewählt wurde, d.h. c^m != 0 mit m<n.
annahme: c != 0 ==> n>1

es gilt a*b = 0 ==> a=0 oder b=0
a=c, b=c^(n-1)
also c*c^(n-1)=0 ==> c=0 oder c^(n-1)=0 GRRR!! ==> widerspruch zum minimal gewählten 'n'.

und ? ist das schriftreif ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

mit deiner letzten antwort kann ich leider nicht viel anfangen
tut mir leid verwirrt


edit: okee nach deinem edit, sage ich: gut so
"GRRR!!" <-- diese ausdrucksweise gefällt mir gut ^^
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ich musste mich entschuldigen weil ich nicht antworten konnte..habe meine weissheitszähne raus..naja wie ich sehe seit ihr ja ziemlich weit gekommen...betreff aufgabe teil a...soll man das nur ausmultiplizeiren und man bekommt 1???

also etwa so

=1²+q+q²+q³+...+q^n-1-q-q²-q³-...-q^n-2??? sor richtig???
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

ist d er letzte term denn richtig.....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ne, da fehlt ein wenig was hinten, nämlich -q^(n-1)-q^n

richtig ausmultiplizieren!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

da fehlt ein wenig was hinten, nämlich -q^(n-1)-q^n

also du meinst..ich muss das am ende rauskriegen??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das fehlt beim ausmultiplizieren
rauskommen soll 1
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

sorry loed das meinte ich eigentlich...also 1 soll da rauskommen ist mir bekannt..aber was noch fehlte war dies am ende ne??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe
glocke schreibt lapidar:

Zitat:
(1-q)*(1+q+q²+q³+...+q^n-1) = ausmultiplireizen = 1

dem musst du nachgehen, beim ausmultplizieren hattest du aber noch GRRRR, wie glocke sagen würde

mfg jochen
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe
also loed..ne ausmultiplizeirt habe ich schon sieh mal nach...1²+q+q²+q^3+q^4+...+q^n-1-q-q²-q³-q^4-...-q^(n-1)-q^n=1

richtig
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

zwischenschritt!

Zitat:
1²+q+q²+q^3+q^4+...+q^n-1-q-q²-q³-q^4-...-q^(n-1)-q^n=????=1



direkt nach dem wegheben der meisten vebleibt erst noch 1-q^n, denn das q^n hat keinen partner
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe...aber dieses q^n das ist ja null??dann belibt eins oder
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, genau deswegen!
aber das solltest du dazuschreiben!

wäre nämlich dieses -q^n da nicht dabei, dann wäre ja jedes element eine einheit und das ist sicher falsch.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

okay dann wäre dies auch erledigt danke noch mal..
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