Differenzengleichung 2. Ordnung - Auflösung |
| 16.05.2005, 23:27 | RedBaron | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Differenzengleichung 2. Ordnung - Auflösung Sitze schon länger bei dieser Gleichung, vielleicht kann mir jemand helfen: Angabe (lineare homogene Differenzengleichung 2. Ordnung): yn - 3yn-1 + 2yn-2 = 0 y0 = 2, y1 = 3 stimmt die Auflösung dieser Gleichung, wenn ich es so mache? B^2 - 3B + 2 = 0 und dann mit der Formel auflöse? oder muss ich hier zunächst die Glieder umordnen: 2yn-2 - 3yn-1 + yn = 0 und es dann so auflösen: 2B^2 - 3B + 1 = 0 bzw. durch 2 dividieren um es einfacher zu machen: B^2 - 3/2B + 1/2 = 0 Hatte bis jetzt immer mit Gleichungen in dieser Form zu tun: yt+2 - 3yt+1 +yt = 0 die ich so aufgelöst habe: B^2 - 3B + 1 = 0 deshalb stellt sich mir die Frage ob ich yt+2 und yn-2 mit B^2 auflösen kann oder nicht?? Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen, vielen Dank schon mal! Lg RedBaron |
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| 16.05.2005, 23:40 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich würde bei solchen Gleichungen immer Klammern setzen, also: y(n) - 3*y(n-1) + 2*y(n-2) = 0 Zur Lösung machst du den Ansatz: y(n) = B^n oder z^n oder ... und kürzt/teilst dann entsprechend die entstehende Gleichung durch den gemeinsamen Faktor. Dann erkennst du auch, dass die erzeugende Gleichung sich nicht ändert, wenn du die Reihenfolge der Summanden änderst. |
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| 16.05.2005, 23:51 | RedBaron | Auf diesen Beitrag antworten » |
gut, wenn ich deinem vorschlag folge und B^n einsetze, komme ich auf folgende gleichung: 2B^-2 - 3B^-1 + 1 = 0 kann ich diese gleichung so auflösen als wären keine negativen vorzeichen im exponent? (2B^2 - 3B^1 + 1) tut mir leid, aber ich glaube ich habe es noch immer nicht ganz verstanden :-( |
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| 17.05.2005, 16:56 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich rechne mal vor: Wenn man einsetzt: y(n)=B^n , erhält man damit: B^n -3*B^(n-1) + 2*B^(n-2) = 0 Jetzt klammert man B^(n-2) aus oder teilt gleich durch B^(n-2) und erhält: B^2 -3*B + 2 = 0 mit der Lösung B1=1 und B2=2 Das ergibt erstmal für y(n): y(n) = a*1^n + b*2^n = a + b*2^n Aus den Anfangswerten y(0)=2 und y(1)=3 folgt für a und b: 2 = a + b 3 = a + 2b mit der Lösung b=1 und a= 1 Somit: y(n) = 1 + 2^n Probe: y(0)=1 und y(1)=3 , passt schon mal und jetzt noch y(n) in die Differenzengleichung einsetzen und zeigen, dass die Lösung stimmt. |
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