Rechenfrage zu (a+b)^n

17.05.2005, 12:35

mercany

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Rechenfrage zu (a+b)^n

Hi,

ich hab mal ne einfach Rechenfrage.
Wenn ich jetzt eine Term in der Form $\begin{eqnarray*} (a \pm b)^n \end{eqnarray*}$ habe. Gibt es da nen Trick, den möglichst schnell auszumultiplizieren?

Bei $\begin{eqnarray*} (x+5)^2 \end{eqnarray*}$ ist es ja klar - bin. Formel! Wie siehts aber jetzt bei $\begin{eqnarray*} (x+5)^6 \end{eqnarray*}$ aus?!?
Ich hab keine Lust, dass alles nacheinander auszumultiplizieren und dann noch zusammenzufassen smile

smile

Besten Dank
mercany

17.05.2005, 12:39

klarsoweit

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RE: Rechenfrage zu (a+b)^n
Da hilft die allgemeine binomische Formel:
$\begin{eqnarray*} (a + b)^n = \sum_{k=0}^n~{n \choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k} \end{eqnarray*}$

17.05.2005, 12:51

thealmighty

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würde man es nicht noch schneller mit dem pascalschen Dreieck ausrechnen können???

17.05.2005, 12:59

mercany

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Könntet ihr das mal am Beispiel $\begin{eqnarray*} (x+5)^6 \end{eqnarray*}$ zeigen, bitte?!

17.05.2005, 13:08

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} (x + 5)^6 = \sum_{k=0}^6~{6 \choose k} \cdot x^k \cdot 5^{6-k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = x^6 + 6x^5 \cdot 5^1 + 15x^4 \cdot 5^2 + 20x^3 \cdot 5^3 + 15x^2 \cdot 5^4 + 6x^1 \cdot 5^5 + 5^6 \end{eqnarray*}$

17.05.2005, 13:35

mercany

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@klarsoweit

Super, danke für das Beispiel!
Die $\begin{eqnarray*} 5^6 \end{eqnarray*}$ am Ende der Gleichung, kommt die von $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Gruss
mercany

/edit: Alles klar, hat sich erledigt die Frage!

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17.05.2005, 15:06

mercany

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Also, ich hab jetzt mal für Probe als mich, das Ganze für $\begin{eqnarray*} (x+7)^6 \end{eqnarray*}$ probiert.
Leider komm ich irgendwie nicht auf das richtige Ergebniss!

Könnte mal wer draufgucken, bitte.

$\begin{eqnarray*} (x+7)^6 = \sum_{k=0}^6~k \begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix} \cdot x^k \cdot 7^{6-k} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hab ich folgende Werte raus:
k=6 --> 0
k=5 --> 6
k=4 --> 15
k=3 --> 40
k=2 --> 30
k=1 --> 24
k=0 --> 0

Als Endgleichung komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} (x+7)^6 = x^6 + 6x^5 \cdot 7 + 15x^4 \cdot 7^2 + 40x^3 \cdot7^3 + 30x^2 \cdot 7^4 + 24x \cdot 7^5 + 7^6 \end{eqnarray*}$

17.05.2005, 16:37

babelfish

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die faktoren sollten aber eigentlich

1-6-15-20-15-6-1

sein... verwirrt

verwirrt

(siehe auch pascalsches dreieck, 7.zeile...http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck)

da ist wohl was falsch gelaufen beim eintippen... (n über 0 ist übrigens 1! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

17.05.2005, 17:04

mercany

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Zitat:

Original von babelfish
die faktoren sollten aber eigentlich

1-6-15-20-15-6-1

sein... verwirrt

verwirrt

(siehe auch pascalsches dreieck, 7.zeile...http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck)

da ist wohl was falsch gelaufen beim eintippen... (n über 0 ist übrigens 1! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Okey, n über 0 ist gleich 1, stimmt!

das die faktoren 1-6-15-20-15-6-1 sein sollen, ist mir von dem post von klarsoweit auch klar!
leider hab ichs jetzt schon mehrmals in meinen rechner eingegeben, ich komm immer auf diese zahlen :-(

gruss
mercany

17.05.2005, 17:11

babelfish

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wenn ichs eintippe, kommt immer der richtige koeffizient raus! verwirrt

verwirrt

aber du hast auch oben in der gleichung ein "k" zu viel! vielleicht liegts dadran...

17.05.2005, 17:19

mercany

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Zitat:

Original von babelfish
aber du hast auch oben in der gleichung ein "k" zu viel! vielleicht liegts dadran...

Bitte wo?

17.05.2005, 17:29

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von mercany
$\begin{eqnarray*} (x+7)^6 = \sum_{k=0}^6~k \begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix} \cdot x^k \cdot 7^{6-k} \end{eqnarray*}$

Hier, richtig wäre

$\begin{eqnarray*} (x+7)^6 = \sum_{k=0}^6~{6\choose k}\cdot x^k \cdot 7^{6-k} \end{eqnarray*}$

17.05.2005, 17:34

mercany

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Huppsss!
Allerdings hatte das keine Auswirkungen auf meine Endgleichung, war nun nen Tippfehler.

Also, liegt mein Problem nur in der falschen Lösung von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

17.05.2005, 17:38

Mathespezialschüler

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Es sind ja "nur" $\begin{eqnarray*} {6\choose 3},\ {6\choose 4},\ {6\choose 5} \end{eqnarray*}$ falsch. Was gibst du denn da genau ein? verwirrt

verwirrt

Kanntest du den Binomialkoeffizienten vorher überhaupt? Hast du mal versucht, ihn ohne TR auszurechnen?

edit: Könnten natürlich auch

$\begin{eqnarray*} {6\choose 1},\ {6\choose 2},\ {6\choose 3} \end{eqnarray*}$

sein. Je nachdem, wie man die Formel aufschreibt.

17.05.2005, 17:38

babelfish

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wie jetzt?
du gibst $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein und erhälst 24?! geschockt

geschockt

Zitat:

Also, liegt mein Problem nur in der falschen Lösung von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

kann ja nur das sein - die anderen beiden faktoren sind ja entweder das x oder die 7...

seltsamer taschenrechner... verwirrt

verwirrt

/edit: @MSS: du meinst wohl über 3/2/1...

17.05.2005, 18:02

mercany

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@MSS
Ja, er ist mir bekannt gewesen.

Ich probiers jetzt nochmal einzelnt per Hand!

/edit: Also, ich habs jetzt mal mit meine normalen Taschenrechner gemacht und siehe da, ich bekommen für 6 über 4 die 15 raus. smile

smile

18.05.2005, 08:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von mercany
Also, liegt mein Problem nur in der falschen Lösung von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn es der Taschenrechner nicht tut, hilft auch
$\begin{eqnarray*} {n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 11:44

mercany

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@klarsoweit

so hatte ich es auch immer gemacht!
Anders kann mein Taschenrechner es überhaupt nicht smile

smile

Wiegesagt, jetzt hat es aber dann doch funktioniert, keine Ahnung woran es lag verwirrt

verwirrt

Danke nochmal an dich
mercany

18.05.2005, 12:58

Mathespezialschüler

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Was hast du denn für einen TR? Wenn der nicht allzu schlecht ist, müsste es da auch ne "nCr"-Taste geben. Gibst du jetzt 6 nCr 2 ein, dann gibt der dir das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} {6\choose 2} \end{eqnarray*}$ aus! Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.05.2005, 18:17

mercany

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hmmm. hab sie gefunden! nett nett smile

smile

besten dank an dich!, max war glaube ich der name Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruss
Jan

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