Beweisen ohne vollst. Induktion

17.05.2005, 13:34	Jörn	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen ohne vollst. Induktion Hiho, http://www.uni-duisburg.de/FB11/LEHRE/S05/ANA1/an04.pdf Genau das ist mein problem Es geht um die Aufgaben 13 und 16. Bei 13 habe ich quasi alle Umformungen gemacht, die ich mir vorstellen kann, aber irgendwie hilft mir das alles nicht weiter, ich vermute mal da gibt es wieder irgendein Trick, vermutlich eine Annäherung, auf die ich nicht komme. Bei Aufgabe 16 habe als Hilfestellung die Bernoullische Ungleichung 1+nt <= (1+t) ^ n Jedoch hat mir das auch nicht weitergeholfen, meine Vermutung war, dass sich (1+nt)/(1-nt) [oder andersrum] an irgendetwas annähert, jedoch bin ich auch dort beim verrecken nicht drauf gekommen Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte, am besten noch heute Thx, und ciao Jörn
17.05.2005, 14:55	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisen ohne vollst. Induktion ich verstehe davon zwar gar nichts, aber sollst du das quasi nach n und t auflösen?? Solche gleichungen habe ich auch gehasst, weil ich niemals ne ahnung gehabt habe, was da direkt zu tun ist. vielleicht zeigst du uns erst einmal, was dir zur Aufgabe 13 eingefallen ist, möglicherweise fällt mir ja was dazu ein???!!
17.05.2005, 15:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Zu Aufgabe 13 kannst du den Mittelwertsatz der Differentialrechnung benutzen, falls ihr den schon hattet! Wenn nicht, dann benutze einfach $\begin{eqnarray} \frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}~a^kb^{n-1-k} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a\neq b \end{eqnarray}$ . Diese Gleichung ist sehr einfach zu beweisen. Wie es geht, siehst du, wenn du mit $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ multiplizierst. Zu Aufgabe 16 benutze doch einfach $\begin{eqnarray} (1-nt)\leq (1-t)^n \end{eqnarray}$ , das ist ja die Bernoullische Ungleichung. Dann nur noch eine kurze Umformung und du bist fertig! Zu Aufgabe 15: Die linke Seite solltest du dir erstmal ausschreiben, um zu sehen, was da steht. Ausgeschrieben steht da (vorher erweitern!) $\begin{eqnarray} \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2k)} \end{eqnarray}$ Fange jetzt von rechts (!!!) an, schreibe den Binomialkoeffizienten aus versuche dann, den Bruch zu vereinfachen. Zu Aufgabe 14: Benutze $\begin{eqnarray} \frac{1}{k+1}\cdot {n\choose k}=\frac{1}{n+1}\cdot {n+1\choose k+1} \end{eqnarray}$ Dann muss du noch den Index verschieben und den binomischen Satz anwenden.

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