Ungleichung

17.05.2005, 14:24

FD0107

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Ungleichung

Hallo zusammen,

Ich habe folgende Ungleichung zu lösen:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x+1} - \frac{x}{x-2} > 3 \end{eqnarray*}$

Könnt Ihr mir sagen ob ich auf dem richtigen Weg bin?

Zuerst habe ich die 3 auf die linke Seite gebracht und dann gleichnamig gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x-6}{(x+1)*(x-2)} - \frac{x^{2}-x}{(x+1)*(x-2)} - \frac{3x^{2} +3x+6 }{(x+1)*(x-2)} > 0 \end{eqnarray*}$

zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} \frac{4x^{2}+5x+0}{(x+1)*(x-2)} > 0 \end{eqnarray*}$

Bin ich soweit richtig?
Und wie sollte ich weitervorgehen?
Sobald ich mit der vietaformel x1 und x2 ausrechne, erhalte ich für x1= 0 und für x2= 5/9
leider weiss ich nicht, was ich damit anfangen soll !?

Danke...

17.05.2005, 14:29

klarsoweit

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RE: Ungleichung
Auf den ersten Blick würde ich sagen, daß der Zähler vom 3. Bruch falsch ist.

17.05.2005, 14:40

FD0107

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Aber ich glaube der dritte Zähler sollte richtig sein!
Ich habe dazu:
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{1} \end{eqnarray*}$ mit (x+1)*(x-2) erweitert...

ergiebt:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2} +3x+6 }{(x+1)*(x-2)} \end{eqnarray*}$

17.05.2005, 14:43

brunsi

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RE: Ungleichung
ja das stimmt, der zähler vom 3.Bruch enthält einen Vorzeichenfehler beim 1.Summanden.

edit:gegen das erweitern ist ja nichts zu sagen, aber du musst das minus vor der 3 noch beachten,wenn du dann ausmultiplizierst !!

17.05.2005, 14:48

FD0107

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Wieso denn?
Das minus vor dem dritten Bruch wird ja auf den ersten Summanden übetragen!
Oder nicht?

Ist die Ungleichung so richtig aufgelöst?
oder nicht?

$\begin{eqnarray*} \frac{4x^{2}+5x+0}{(x+1)*(x-2)} > 0 \end{eqnarray*}$

sollte eingentlich stimmen, da ich die Vorzeichen auch beachtet habe...

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

17.05.2005, 14:57

klarsoweit

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Wird sind noch nicht mit dem 3. Bruch fertig. Es ist:
(x+1) * (x-2) = x² - x - 2
Das muß man dann mit 3 multiplizieren, Minus vor dem Bruch hin oder her.

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17.05.2005, 15:00

jaymo

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müßte es nicht beim zähler des zweiten Bruchs heißen $\begin{eqnarray*} x^{2}+ x \end{eqnarray*}$ ? Man erweitert doch mit (x+1).

17.05.2005, 15:04

brunsi

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antwort
beim zähler des zweiten bruchs muss es heißen:

$\begin{eqnarray*} -(x^2+x) \end{eqnarray*}$ denn du kannst ja nicht einfach das minus weglassen.

nein du hast den fehler schon im Zähler des 3.Bruches der zweiten Zeile gemacht!!

17.05.2005, 15:09

FD0107

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Ist es etwa so richtig?
$\begin{eqnarray*} \frac{3x-6}{(x+1)*(x-2)} - \frac{x^{2}+x}{(x+1)*(x-2)} - \frac{3x^{2} -3x-6 }{(x+1)*(x-2)} > 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ja, verwirrt mich die Minus-Operation vor den Termen...

17.05.2005, 15:24

klarsoweit

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RE: Ungleichung
Ja jetzt stimmts. Freude

Freude

Wieso verwirrt das? Es ist z.B.:
$\begin{eqnarray*} - \frac{x}{x-2} = - \frac{x \cdot (x+1)}{(x-2) \cdot (x+1)} =- \frac{x^2 + x}{(x-2) \cdot (x+1)} \end{eqnarray*}$
Das Minus schleppt man erstmal einfach mit.

17.05.2005, 16:00

FD0107

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Es verwirrt mich, weil ich gedacht habe, dass das Minus die Operationen umkehrt!!! Verstehst du was ich meine?

Also, nun werde ich folgende Terme zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x-6}{(x+1)*(x-2)} - \frac{x^{2}+x}{(x+1)*(x-2)} - \frac{3x^{2} -3x-6 }{(x+1)*(x-2)} > 0 \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst (ohne minus zu beachten):
$\begin{eqnarray*} \frac{-4x^{2}+x-12}{(x+1)*(x-2)} > 0 \end{eqnarray*}$

ist das korrekt?

17.05.2005, 16:11

klarsoweit

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Es hat niemand behauptet, das Minus zu ignorieren. Es ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x-6}{(x+1)*(x-2)} - \frac{x^{2}+x}{(x+1)*(x-2)} - \frac{3x^{2} -3x-6 }{(x+1)*(x-2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{3x-6}{(x+1)*(x-2)} + \frac{-x^{2}-x}{(x+1)*(x-2)} + \frac{-3x^{2} +3x+6 }{(x+1)*(x-2)} \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du das richtig zusammenfassen.

17.05.2005, 16:34

FD0107

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Aber dann war ja bereits in meinem ersten Tread (ganz oben) die zusammenfassung richtig!? Ausser, dass ich das minus vergessen habe zu posten...
$\begin{eqnarray*} \frac{-4x^{2}+5x+0}{(x+1)*(x-2)} > 0 \end{eqnarray*}$

Aber so sollte es stimmen!? oder ?

Als nächstes muss ich folgende Form mit der vietaformel auflösen:
$\begin{eqnarray*} - 4x^{2} +x -12 \end{eqnarray*}$
bin ich so auf dem richtigen weg, oder gibt es eine einfachere Lösung?

17.05.2005, 18:27

FD0107

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so.. bin nun etwas weiter gekommen...

Kann mir bitte jemand bestätigen, ob ich folgende Tabelle (Anhang) zu meiner Ungleichung richtig ausgefüllt habe?

Wie kann ich nun herauslesen wie die Lösungsmenge lautet?
Ich bin auf folgende Lösungsmenge gekommen:
$\begin{eqnarray*} x\in (-1;0] \bigcup [\frac{5}{4};2] \end{eqnarray*}$

Habe ich etwas falsch gemacht?

Vielen Dank für eure Hilfe !!!

17.05.2005, 18:46

etzwane

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Hier ein Schaubild der Funktion (mit ungenauen Asymptoten), gefragt war nach dem Bereich mit f(x) > 3, also über der grünen Linie:

17.05.2005, 18:51

brunsi

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antwort
ich hab ja nicht behauptet, dass deine zusammenfassung völlig falsch ist. ich hab dir nur gesagt, dass du im 3. Bruch nen minus vergessen hast und dadurch wird ja auch der bruch der zusammenfassung nicht korrekt.

18.05.2005, 07:52

FD0107

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Hi,

Bitte entschuldigt mich nochmal, aber leider bin ich mir bei dieser Aufgabe immer noch nicht sicher!

Ist nun die Lösungsmenge:
$\begin{eqnarray*} x\in (-1;0] \bigcup [\frac{5}{4};2] \end{eqnarray*}$

für folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x+1} - \frac{x}{x-2} > 3 \end{eqnarray*}$

Korrekt? Wenn nicht? Wo muss ich den Fehler suchen?
Leider sagt mir das Schaubild von etzwane nicht viel Buschmann

Buschmann

Danke und Gruss
Remo

18.05.2005, 08:36

klarsoweit

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Ich sehe jetzt nicht, wie du weiter gerechnet hast. Ich würde nun eine Fallunterscheidung machen:
I: $\begin{eqnarray*} -4x^{2}+5x > 0 \text{ und } (x+1) \cdot (x-2) > 0 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} -4x^{2}+5x < 0 \text{ und } (x+1) \cdot (x-2) < 0 \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 08:49

FD0107

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich sehe jetzt nicht, wie du weiter gerechnet hast. Ich würde nun eine Fallunterscheidung machen:
I: $\begin{eqnarray*} -4x^{2}+5x > 0 \text{ und } (x+1) \cdot (x-2) > 0 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} -4x^{2}+5x < 0 \text{ und } (x+1) \cdot (x-2) < 0 \end{eqnarray*}$

Wie muss ich da vorgehen? Das Wort Fallunterscheidung sagt mir nicht viel! Muss ich da für x einfach beliebige werte einsetzen und schauen bei welcher Gleichung es zutrifft?
Kannst du mir das an einem Beispiel vorzeigen ?

18.05.2005, 09:01

klarsoweit

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Verstehe jetzt die Frage nicht so ganz. Wir hatten als Zwischenergebnis eine Ungleichung der Form:
$\begin{eqnarray*} \frac{Term1}{Term2} > 0 \end{eqnarray*}$
Da gibt es 2 Möglichkeiten: 1. Term1 > 0 und Term2 > 0 oder 2. Term1 < 0 und Term2 < 0.
Hier ist Term1 = -4x² + 5x und Term2 = (x+1)*(x-2)
Nehmen wir jetzt mal die Ungleichung (x+1)*(x-2) > 0. Wenn ein Produkt > Null ist, was folgt daraus für die einzelnen Faktoren?

18.05.2005, 09:03

FD0107

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Dass die Faktoren auch positiv sind!?
nicht?

18.05.2005, 09:08

klarsoweit

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Halb richtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es können aber auch beide Faktoren negativ sein. Es gibt also nochmal eine Fallunterscheidung. Und weil das so gut klappt, solltest du auch den Term1 = -4x² + 5x als Produkt schreiben.

18.05.2005, 09:14

FD0107

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Meinst du damit die x ausklammern:

$\begin{eqnarray*} -x(4x-5) \end{eqnarray*}$

Aber leider kann ich dir noch nicht genau folgen!
Was nützt mir dieser Schritt?
Danke...

18.05.2005, 09:17

klarsoweit

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richtig! Die 1. Ungleichung in der 1. Fallunterscheidung lautet dann:
$\begin{eqnarray*} -x(4x-5) > 0 \end{eqnarray*}$
Daraus ergeben sich für die 2 Faktoren wieder 2 Möglichkeiten.

18.05.2005, 09:25

FD0107

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Ich habe nun wirklich keinen Plan wie ich weiter machen soll!?
Kannst du bitte für mich die Fallunterscheidungen erledigen, damit ich es nachvollziehen und am Schluss noch die Lösungmenge bestimmen kann...
Wäre echt super!

18.05.2005, 09:32

klarsoweit

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Nee, tut mir leid. unglücklich

unglücklich

Siehe auch den Userguide.
Die grundlegende Fallunterscheidung I und II habe ich oben schon gemacht. Das mußt du nun in Ia und Ib, IIa und IIb weiter unterscheiden. Ist ein bißchen Schreibarbeit. Die nehme ich dir aber nicht ab.

18.05.2005, 09:58

FD0107

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Ach so! Ok, versteh ich Tanzen

Tanzen

Also, ich bin wieder etwas weiter gekommen:

$\begin{eqnarray*} -x(4x-5) > 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich bei obiger Gleichung für x-2 einsetzte,
stimmt die behauptung $\begin{eqnarray*} -x(4x-5) > 0 \end{eqnarray*}$
Wenn ich aber für x=2 eisetze, ist die Behauptung falsch!
$\begin{eqnarray*} -x(4x-5) < 0 \end{eqnarray*}$

d.h. Bei diesem Term, muss X negativ sein!?

Und jetzt? Was nützen mich eigentlich diese Fallunterscheidungen?
Brauche ich die um später die Lösungsmenge zu bestimmen?

Thx

18.05.2005, 10:13

klarsoweit

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eijei, du tust dich aber besonders schwer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aus $\begin{eqnarray*} -x(4x-5) > 0 \end{eqnarray*}$ folgt:
a) -x > 0 und 4x-5 > 0 oder
b) -x < 0 und 4x-5 < 0
also:
a) x < 0 und x > 5/4 (Das geht nicht, also dieser Fall ist obsolet.)
b) x > 0 und x < 5/4

Genauso gehst du mit (x+1)*(x-2) > 0 vor. Und dann mußt du alles zusammensetzen.

18.05.2005, 11:01

FD0107

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Du hast recht! Ich tu mich wirklich zu schwer mit dieser Aufgabe!!!
Bin nun schon einige Stunden dran aber komme nicht auf die Lösung!

Das beste ist, wenn ich die Ungleichung in Unterricht mit meinem Lehrer bespreche!
Trotz deiner hilfreichen Antworten, habe ich irgendwo noch einen "Knopf" der nicht auf will!!!

Aber ich danke dir trotdem tausendmal!
Auch wenn ich die Lösung nicht habe, war es für mich ein Lernerfolg
Prost

Prost

Gruss

18.05.2005, 22:05

FD0107

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Judihui

Endlich habe ich die Aufgabe gelöst!!! Rock

Rock

Da mir die Fallunterscheidung etwas schwer fällt, habe ich die Aufgabe mit einem anderen Lösungsweg gelöst!

Meine Lösung könnt ihr im Anhang betrachten fröhlich

fröhlich

Falls jemand noch Fehler findet, bitte eine Nachricht an mich!

@etzwane
Die selbe Grafik habe ich mit meinem TR (Voyage200) erhalten.

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