Konvergenz des Newton-Verfahrens

17.05.2005, 15:49	specialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz des Newton-Verfahrens Hallo, kann mir jemand sagen, was die Bedingung ist, dass das Näherungsverfahren von Newton gegen eine Nullstelle konvergiert, bzw. wann das Verfahren zu keiner Lösung führt? Vielen Dank schon mal
17.05.2005, 16:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Also es gibt da verschiedene Kriterien. Ich hab hier insgesamt drei zu stehen, ich schreibe dir erstmal nur eines auf, was schon lang genug ist. Wenn du möchtest, kriegst du auch noch ne Fehlerabschätzung von mir. Satz: Die Funktion $\begin{eqnarray} f:[a,b]\to \mathbb R \end{eqnarray}$ erfülle die folgenden Voraussetzungen: a) $\begin{eqnarray} f'' \end{eqnarray}$ ist vorhanden, stetig und stets $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \leq 0 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist also konvex oder konkav). b) $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ hat keine Nullstellen ( $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ selbst ist also sreng monoton). c) Es ist $\begin{eqnarray} f(a)\cdot f(b)<0 \end{eqnarray}$ Dann besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ genau eine Lösung $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ . Die zugehörige Newtonfolge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ konvergiert immer dann - und zwar sogar monoton - gegen $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ , wenn man ihren Startpunkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ folgendermaßen wählt: In den beiden Fällen $\begin{eqnarray} (\alpha)\ f(a)<0,\ f''\leq 0\quad \mathrm{und} \quad (\beta)\ f(a)>0,\ f''\geq 0 \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} x_0\in [a,\xi] \end{eqnarray}$ , z.B. $\begin{eqnarray} x_0:=a \end{eqnarray}$ . Es strebt dann $\begin{eqnarray} x_n\nearrow \xi \end{eqnarray}$ . In den zwei restlichen Fällen $\begin{eqnarray} (\gamma)\ f(a)<0,\ f''\geq 0\quad \mathrm{und} \quad (\delta)\ f(a)>0,\ f''\leq 0 \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} x_0\in [\xi,b] \end{eqnarray}$ , z.B. $\begin{eqnarray} x_0:=b \end{eqnarray}$ . Es strebt dann $\begin{eqnarray} x_n\searrow \xi \end{eqnarray}$ . Wie gesagt, wenn du möchtest, kriegst du auch noch ne Fehlerabschätzung. Quelle: Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1, 15. Auflage Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, Februar 2003

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »