Maßtheorie: Integrierbarkeit

05.01.2008, 10:28

George

Maßtheorie: Integrierbarkeit

Hi,

ich habe folgendes Problem: In einem Satz heißt es:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum und $\begin{eqnarray*} f: \Omega \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion.
Dann sind gleichwertig:

(i) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -integrierbar
(ii) $\begin{eqnarray*} \mu(\{\omega | f(\omega) \neq 0 \} ) < + \infty \end{eqnarray*}$
...

Ich verstehe (ii) nicht so ganz. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt ja integrierbar, wenn es eine Normaldarstellung $\begin{eqnarray*} f = \sum_i \alpha_i \mu(A_i) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \mu(A_i) = + \infty \end{eqnarray*}$ . Aber dann gilt doch höchstens $\begin{eqnarray*} (ii) \Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$ . Anders formuliert: Wenn (ii) nicht gilt, dann sind die zugehörigen Gewichte $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ .

Kann mir jemand erklären wo mein Denkfehler liegt?

05.01.2008, 11:44

Mazze

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Zitat:

Ich verstehe (ii) nicht so ganz. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt ja integrierbar, wenn es eine Normaldarstellung $\begin{eqnarray*} f = \sum_i \alpha_i \mu(A_i) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ falls

Das ist auch klar warum Du das nicht verstehst, weil Du ersteinmal von vornherein die Begriffe durcheinander würfelst. Integrierbarkeit heisst das

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}f d\mu = \sum_{i}\alpha_i \mu(A_i) < \infty \end{eqnarray*}$

die Darstellung von f (da f eine Treppenfunktion) ist aber

$\begin{eqnarray*} f = \sum_{i}\alpha_i \chi_{A_i} \end{eqnarray*}$

Du willst zeigen das :

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}f d\mu < \infty \Leftrightarrow \mu(\{\omega | f(\omega) \neq 0 \} ) < \infty \end{eqnarray*}$

Nun zu (i) -> (ii) :

f ist eine Treppenfunktion, was würde es denn heissen wenn

$\begin{eqnarray*} \mu(\{\omega | f(\omega) \neq 0 \} ) = \infty \end{eqnarray*}$

wenn Dir das klar ist, siehst Du sofort wie Du den Beweis ansetzen musst. Zeichne Dir mal eine solche Treppenfunktion auf, am besten mit nur 2 $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Zitat:

Anders formuliert: Wenn (ii) nicht gilt, dann sind die zugehörigen Gewichte $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist im Übrigen dein Denkfehler und der hat exakt mit dem zu tun das Du die Menge verstehen sollst. Wenn $\begin{eqnarray*} f(w) \neq 0 \end{eqnarray*}$ und das zugehörige Maß unendlich ist kann alpha nicht null sein

05.01.2008, 12:05

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Zitat:

Original von Mazze
Integrierbarkeit heisst das

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}f d\mu = \sum_{i}\alpha_i \mu(A_i) < \infty \end{eqnarray*}$

Das stimmt für nichtnegative $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Für beliebige Treppenfunktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (und um die geht es hier) muss ich die Integrierbarkeitsbedingung etwas korrigieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i} |\alpha_i| \mu(A_i) < \infty \end{eqnarray*}$ .

Sonst aber keine Einwände. Augenzwinkern

05.01.2008, 14:06

George

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Hallo,

ok, wenn $\begin{eqnarray*} \mu(\{\omega | f(\omega) \neq 0 \}) = \infty \end{eqnarray*}$ dann wäre auch der Wert des Integrals $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ .
Also wenn $\begin{eqnarray*} f(\omega) \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist das zugehörige $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 0 \end{eqnarray*}$ , und wenn dann noch das Maß der Menge all dieser Punkte $\begin{eqnarray*} \{\omega | f(\omega) \neq 0\} \end{eqnarray*}$ unendlich ist, ist das Integral auch unendlich.

Ist das so besser?

05.01.2008, 14:21

Mazze

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Das hört sich schon sehr gut an das ist aber die gegenteilige Aussage. Das musste Du nur noch in eine schöne Form für den Beweis bringen, aber die Idee sollte dir jetzt klar sein. Und denk dran das es sich, wie Arthur schon sagte, bei der Integration um die Betragsstriche bei den Alphas handelt. (danke übrigens für die Korrektur Augenzwinkern

)

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