stetigkeit

05.01.2008, 11:12

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

stetigkeit

Hallo, ich hab einige Schwierigkeiten mit der Stetigkeit. Ich hab das Gefühl, dass mir meine ganzen Sätze gar nicht weiterhelfen.

1.
Sind die beiden nachstehenden Funktionen im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ stetig?
a)
$\begin{eqnarray*} f(x) = sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} f(x) = x sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ , 0 für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

Ich würde hier sagen: a) ja!, b) nein!. Ich kann mir das ganze auch Bildlich vorstellen, aber mit der Begründung klappt es nicht.

______________________________________________________

2.
Zeigen Sie folgende Aussage: Sind f,g : [a,b] -> R beide stetig auf [a,b] und gilt

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \forall x \in Q \cap [a,b] \end{eqnarray*}$
so gilt auch:
$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \forall x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

d.h stetige Funktionen sind schon durch ihre Wrte auf einer sogenannten dichten Menge eindeutig bestimmt.

Ich denke das gilt, da R dicht in Q liegt. und da gilt:
$\begin{eqnarray*} x_n -> x_0 \Rightarrow f(x_n) -> f(x_0) \end{eqnarray*}$
aber so einen richtigen Beweis hab ich nicht..

_______________________________________________________

3.
Untersuchen Sie, an welchen Stellen die folgenden Funktionen f : (0,1) -> R stetig sind:

a)
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x nicht \in Q, 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in Q \end{eqnarray*}$
b)
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x nicht \in Q, \frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=\frac{p}{q} mit p,q \in N, sowie p,q teilerfremd \end{eqnarray*}$

Hinweis: Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} x \in Q, x nicht \in Q \end{eqnarray*}$ . Kann für $\begin{eqnarray*} x_n \in Q, x_n = \frac{p_n}{q_n} -> x nicht \in Q \end{eqnarray*}$ die Folge (q_n) beschränkt sein?

Ich denke mal die erste ist an keiner Stelle stetig, weil die Funktion ja permanent zwischen 0 und 1 hin und her springt. Also zwischen jeden Q und R eine Sprungstelle hat.
Das Zweite.. keine Ahnung..

Danke schon einmal
Luci

05.01.2008, 11:27

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Eestmal zur 1. a)

Um die Stetigkeit in einem Punkt, hier x0=0, zu überprüfen, musst du schon rechnerisch rangehen.
Das bedeutet, du musst überprüfen, ob das stimmt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow x_0} f(x) = f(x_0) = \lim_{x \searrow x_0} f(x) \end{eqnarray*}$

Bei der b) natürlich analog.

Zur 2. schau mal, da gabs erst vor 2-3 Tagen die selbe Aufgabe im Forum, da findest du einen Hinweis.

air

05.01.2008, 11:29

sqrt4

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2.)

Da hast du schon die richtige Idee. Für jede reelle Zahl gibt es eine Folge rationaler Zahlen $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , die gegen x konvergiert.
also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n=x \end{eqnarray*}$ . Da f stetig ist, gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=\lim f(x_n)=... \end{eqnarray*}$ hilft das weiter?

05.01.2008, 11:50

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen lieben Dank!

zu 1.: ich habe ja die ganzen sinuskurven in diesem Fall zwischen x_n und x_0. also ziemlich viele auf einem kleinen Raum. Kann ich dann davon ausgehen, dass die Funktion dann bei x_0 = 0 alle Werte zwischen -1 und 1 annimmt, oder ist es immer noch nur ein Punkt, den man aber nicht bestimmen kann? Und wie schreibt man das auf?

05.01.2008, 11:57

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

beziehst du dich mit deinem post auf die 1a) ?

deine überlegungen sind richtig, die funktion oszilliert in der nähe von 0 zwischen -1 und 1 und ist demnach nicht stetig.

für einen formalen beweis könntest du z.b. die nullfolge $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{\pi n + \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ betrachten.

05.01.2008, 12:35

sqrt4

Auf diesen Beitrag antworten »

3a) ist in keinem Punkt stetig, 3b) ist in jedem irrationalen Punkt stetig. Kennst du die $\begin{eqnarray*} \varepsilon- \delta \end{eqnarray*}$ Definition der Stetigkeit? Mit der kann mans machen
ich geb dir mal ne Beweisidee. man nimmt die kleinste natürliche Zahl m, so dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Dann betrachtest du alle rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} x=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ wobei p,q teilerfremd und (!) $\begin{eqnarray*} q<m \end{eqnarray*}$ . Dann bildet man alle noch die Abstände von x zu diesen rationalem Zahl und wählt den kleinsten Abstand als delta.

Anzeige

05.01.2008, 14:29

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

ja die kenn ich.
vielen dank an alle!

06.01.2008, 11:14

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab nun die 2. wäre lieb, wenn da noch mal jemand drüber schauen könnte.

Vor:
- f,g [a,b] -> R sind stetig auf [a,b]
- es gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \forall x \in \mathbb Q \cap [a,b] \end{eqnarray*}$

Behauptung:
es gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \forall x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \forall x \notin \mathbb Q \ \end{eqnarray*}$ existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x_n = x \end{eqnarray*}$

da f stetig ist auf [a,b], folgt: $\begin{eqnarray*} f(x) = \lim_{x \to \infty } x_n \forall x \in \mathbb R \cap [a,b] \end{eqnarray*}$
da g stetig ist auf [a,b], folgt: $\begin{eqnarray*} g(x) = \lim_{x \to \infty } x_n \forall x \in \mathbb R \cap [a,b] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) = \lim_{x \to \infty } x_n = g(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) = g(x) \forall x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

06.01.2008, 11:32

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

hm.. also mit der 3 hab ich noch meine probleme... ich hab die $\begin{eqnarray*} \varepsilon - \delta \end{eqnarray*}$ stetigkeit mal bei der a ausprobiert. und da hat sie funktioniert. demnach müsste a ja in dem punkt, in dem ich es versucht hab stetig sein oder?

06.01.2008, 11:53

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

kann man die 1b wirklich analog führen? weil ich hab die 1a fertig. da reicht es ja eine folge zu finden, bei der es nicht zutrifft, aber bei der b reicht es doch nicht eine folge zu finden, bei der es zutrifft, oder? weil damit hab ich doch noch gar nichts gezeigt...

06.01.2008, 12:50

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

die 2 ist so nicht richtig.

entscheidend ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} g(x_n) \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert und f,g stetig sind, sieht dieser grenzwert wie aus?

bei der 1b würde ich ein sandwich benutzen:

$\begin{eqnarray*} x \cdot \sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ liegt zwischen x und -x

06.01.2008, 17:12

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

hm.. ich dachte es gilt bei $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to b} x_n -> x: x_n \in \mathbb Q , x \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Dann müsste ich doch zeigen, dass f(x) = g(x) ?? oder?
Luci

06.01.2008, 17:53

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

bei der 2 b hab ich dann:

z.z.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x* \sin(\frac{1}{x}) 0 = \lim_{x \to x_0-0} x* \sin(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ nie größer als 1 werden kann und nie kleiner als -1, kann $\begin{eqnarray*} x* \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ nie größer als x und nie kleiner als -x werden.
Weiterhin gilt: Wenn zwei Folgen $\begin{eqnarray*} (x_{n1}), (x_{n2}) \end{eqnarray*}$ gegen den gleichen Grenzwert laufen, laufen auch alle Folgen dazwischen gegen den gleichen Grenzwert.
Wir betrachten also die äußersten Folgen $\begin{eqnarray*} (x_{n1})=x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} und (x_{n2})=-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+0} x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0-0} x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0+0} -x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0-0} -x=0 \end{eqnarray*}$

Damti gehen alle Folgen $\begin{eqnarray*} x_n -> x_0 \end{eqnarray*}$ . Die Funktion ist im Punkt x_0 stetig.

06.01.2008, 18:03

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Luci

da f stetig ist auf [a,b], folgt: $\begin{eqnarray*} f(x) = \lim_{x \to \infty } x_n \forall x \in \mathbb R \cap [a,b] \end{eqnarray*}$
da g stetig ist auf [a,b], folgt: $\begin{eqnarray*} g(x) = \lim_{x \to \infty } x_n \forall x \in \mathbb R \cap [a,b] \end{eqnarray*}$

das ist entscheidend falsch.

das folgenkriterium für stetigkeit lautet:

f ist stetig in x, wenn mit jeder gegen x konvergenten folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = \lim_{n \to \infty } f(x_n) \end{eqnarray*}$

06.01.2008, 19:59

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

oh, da hab ich mich verschrieben. Ich meinte f(x) = lim f(xn) für alle x nicht in Q
aber das ändert doch nichts am schluss oder? weil damit geht der beweis dann ja trotzdem

07.01.2008, 09:59

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

könnte mir jemand zu der 3 a und b noch nen Hinweis geben.. irgendwie steh ich da auf nem schlauch.
Kann ich bei der a einfach schreiben, dass sie in keinem Punkt stetig ist, da R nahe in Q liegt?
bei der b versteh ich nicht, warum es jeder irrationate punkt ist. Ich hab eher das Gefühl, dass es alle rationalen und Irrationalen um x_0 = 0 sind.
Denn hier geht der nenner gegen unendlich, und f(x) somit gegen 0.

07.01.2008, 12:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

beachte bei 3a), dass in jeder Umgebung einer reellen Zahl eine rationale liegt und umgekehrt

zeige mit dieser überlegung, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ nicht für alle $\begin{eqnarray*} x,x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ gelten kann.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »