Wahrscheinlichkeitsrechnung

05.01.2008, 15:27

Vatan

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hallo Leute ich hab da wieder mal ein Problem und zwar:

Jemand möchte sich aus 2 Eiern eine Eierspeise machen. Im Kühlschrank sind insgesamt 5 Eier, von denen allerdings eines faul ist. Er nimmt zufällig zwei Eier. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei genießbare Eier verwendet?

Meine Weg;

Ausfall = (x1/x2)
S = 5*4 = 20 insg. Mögliche Fälle
E = 4 über 2, weil er muss ja 2 Eier aus 4 guten entnehmen. = 6 günstige Fälle

-> Laplace p= 6/20 = 30%

Lösungsbuch;

Ausfall = (x1/x2)
S = 20
E = 4*3 = 12

p=12/20 = 60 %

Ich verstehe die Logig nicht, welches dahinter steckt..
Mein Weg ist einfach, man muss 2 Eier aus 4 gute nehmen und das sind die günstigen Fälle. Da spricht doch die Reihenfolge keine Rolle

Ich hoffe ihr könnt mir helfen...

Ich danke im voraus

Mfg

05.01.2008, 15:57

Dalice66

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Hallo,
dein Eierproblem ist ein "ziehen ohne Zurücklegen"
Du hast 5 Eier zur Auswahl, wovon eins schlecht ist, zwei ziehst du aus den INSGESAMT 5 Eiern, wobei beide genießbar sein sollen...Du hast einen einfachen Rechenfehler gemacht .

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind nicht 6 sondern 12...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4! \\ 2! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind

$\begin{eqnarray*} \frac{4*3*2*1}{1*2} \end{eqnarray*}$

Nun müsste es passen

05.01.2008, 16:18

Vatan

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Hmm
Danke für die schnelle Antwort ABER...

4 über 2 = 4!/((4-2)!*2!)

und da kommt bei mir 6

05.01.2008, 16:34

Dalice66

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RE: Hmm
Na gut, ich versuch's mal anders...

Wir halten fest : $\begin{eqnarray*} \frac{4*3*2*1}{1*2} \end{eqnarray*}$

Was meinst Du, kann man irgendetwas kürzen?

05.01.2008, 16:38

Vatan

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RE: Hmm
Ja, du hast schon recht aber 4 über 2 ist nicht das gleiche wie 4!/2!

Wie kommst du bei dieser Aufgabenstelleng auf 4! / 2!

05.01.2008, 16:51

Dalice66

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Nein, es ist nicht das gleiche, es verdeutlicht aber das Ergebnis...

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05.01.2008, 16:54

piloan

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Hi
darf ich mich mal einmischen:

Also das ist fuer mich hypergeometrisch verteilt:

Das Ereignis, dass wir 2 gute Eier ziehen nenne ich mal G.
Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich durch

$\begin{eqnarray*} P(G)= \frac{{ 4\choose 2} \cdot {1\choose 0}}{{5\choose 2}}=\frac{6}{10} \end{eqnarray*}$

05.01.2008, 17:03

Vatan

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RE: Hmm
Tut mir leid aber für mich ist deine Lösung nicht deutlich..

Wie kommst du auf 4! / 2!

05.01.2008, 17:07

Vatan

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pilokan
Also der Zähler ist mir vöölig klar.

Man hat 4 gute von denenen muss man 2 rausnehmen (zufällig)

Und insgesamt hat man 5*4 mögl.

Laplace -> Möglich/günstig -> 6/20

Nur der Nenner ist mir nicht klar.

05.01.2008, 17:08

piloan

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Zitat:

Original von Dalice66

$\begin{eqnarray*} { 4\choose 2} \end{eqnarray*}$ sind nicht 6 sondern 12...

Nun müsste es passen

Stimmt nicht

$\begin{eqnarray*} { 4\choose 2}=\frac {4!}{2!\cdot 2!}=\frac{24}{4}=6 \end{eqnarray*}$

05.01.2008, 17:10

piloan

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Schau dir nochmal die hypergemotrische Verteilung an.

Du hast 4 gute Eier. Es gibt $\begin{eqnarray*} {4\choose 2} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, zwei Eier aus den vier zu ziehen.

Insgesamt gibt es aber $\begin{eqnarray*} {5\choose 2} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten zwei Eier aus fünf zu ziehen.

Grüße

05.01.2008, 17:13

Dalice66

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Irgendwie leuchtet mir das ja alles ein. Nach meiner Kenntnis bleibt bei

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

doch $\begin{eqnarray*} 4*3 \end{eqnarray*}$ über verwirrt

verwirrt

05.01.2008, 17:32

Vatan

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Nein ich glaube du verwechseltst etwas.

Das ist nicht das gleiche.

mfg

05.01.2008, 17:33

Dalice66

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und warum ist dann mein Ergebnis richtig?

05.01.2008, 17:40

Vatan

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OK jetzt hab ichs irgendwie begriffen.

Es klingt sehr logisch. Was ist aber bei meiner Überlegung mit 5*4 Möglichkeiten falsch?

Man hat 5 Eier, nimmt eines weg (man hat 5 Möglichkeiten für das erste Ei) und danach nimmt man das zweite Ei weg (4 weitere Möglichkeiten)

Kannst du mir meinen Fehler bitte sagen

05.01.2008, 17:47

Leopold

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Es ist ein Grundübel der Kombinatorik, daß die meisten Leute gleich anfangen zu zählen, ohne sich zu überlegen, was sie eigentlich zählen. Und so wird die Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten zu einem reinen Va-Banque-Spiel.
Oftmals ist es so, daß es nicht nur einen möglichen Ansatz gibt, sondern viele. Man muß sich nur über das Modell im voraus klar werden und in Zähler und Nenner der Laplace-Formel

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\mbox{Anzahl der für} \ A \ \mbox{günstigen Fälle}}{\mbox{Anzahl der möglichen Fälle}} \end{eqnarray*}$

dieselben Dinge zählen. Deshalb die Grundregel:

Erst überlegen, WELCHE OBJEKTE ES SIND, DIE MAN ZÄHLT.
Dann überlegen, WIE MAN DIESE OBJEKTE ZÄHLT.

Variante 1

Beginnen wir mit dem Ansatz von Vatan. Was zählt er eigentlich, wenn er $\begin{eqnarray*} 5 \cdot 4 \end{eqnarray*}$ rechnet? Offenbar unterscheidet er die 5 Eier und berücksichtigt auch die Reihenfolge. Wenn wir also die guten Eier mit $\begin{eqnarray*} 1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ und das faule mit $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ numerieren (damit hat jedes Ei eine eigene Identität), so sind die Objekte, die Vatan zählt, die folgenden zwanzig Zahlenpaare, die zur Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ zusammengefaßt werden:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{ 12,13,14,15; \ 21,23,24,25; \ 31,32,34,35; \ 41,42,43,45; \ 51,52,53,54 \} \end{eqnarray*}$

Für die erste Stelle gibt es 5 Möglichkeiten, für die zweite dann noch 4 (alles, was nicht zuerst ausgewählt wurde), daher gilt

$\begin{eqnarray*} |\Omega| = 20 \end{eqnarray*}$

Und jetzt soll Vatan einmal die Elemente von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ankreuzen, für die

$\begin{eqnarray*} A = \text{"beide Eier sind gut"} \end{eqnarray*}$

zutrifft. Wie kann man die $\begin{eqnarray*} |A \end{eqnarray*}$ | formelmäßig erhalten?

Variante 2

Piloan hat einen anderen Ansatz. Er berücksichtigt die Reihenfolge der Eier nicht. Mathematisch gesprochen sind seine Objekte Mengen und keine Zahlenpaare. Wieder sollen $\begin{eqnarray*} 1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ die guten und $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ das faule Ei sein. Sein Ergebnisraum ist

$\begin{eqnarray*} \Omega' = \left\{ \{ 1 , 2 \}, \ \{ 1 , 3 \}, \ \{ 1 , 4 \}, \ \{ 1 , 5 \}, \ \{ 2 , 3 \}, \ \{ 2 , 4 \}, \ \{ 2 , 5 \}, \ \{ 3 , 4 \}, \ \{ 3 , 5 \}, \ \{ 4 , 5 \} \right\} \end{eqnarray*}$

Und jetzt auch hier die Objekte von $\begin{eqnarray*} \Omega' \end{eqnarray*}$ ankreuzen, für die

$\begin{eqnarray*} A' = \text{"beide Eier sind gut"} \end{eqnarray*}$

zutrifft. Wie ist hier zu zählen?

Vielleicht wird jetzt klarer, was ich meinte, als ich sagte: Man muß in Zähler und Nenner dieselben Dinge zählen.

Und über die chaotischen Beiträge von Dalice66 schweige ich mich lieber aus ...

08.01.2008, 22:35

Vatan

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Also Respekt..

Mein Fehler war, dass ich Anz. der möglichen Fälle mit Reihenfolge betrachtet hab und die günstigen Fälle ohne. Man darf das anscheinend nicht vermischen.

also besten Dank für die Antwort

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