Potenzreihendarstellung des arctan

17.05.2005, 19:41	creasy	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihendarstellung des arctan Hallo zusammen Habe folgendes Problem: Man soll die Potezreihendarstellung des arctan in (-1,1) bestimmen. Kann mir jemand verraten, wie man an das Problem rangehen könnte. Nach Möglichkeit ohne Integralrechnung. danke
17.05.2005, 19:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es denn mit der Taylorreihe? Falls du die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray}$ kennst, geht es auch viel einfacher ... (vorausgesetzt du "darfst" Potenzreihen integrieren).
17.05.2005, 19:55	creasy	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren ist leider nicht, da wir das noch nicht gehört haben. Ansonsten wäre es nicht das Problem
17.05.2005, 20:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich musst du nur unbestimmt integrieren, also nur eine Stammfunktion finden. Aber wenn ihr das noch nicht hattet ... Vielleicht sagst du uns mal, was ihr denn hattet?! Bis jetzt sieht es so aus, als führe nichts an Taylor vorbei.
17.05.2005, 20:21	creasy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Ich glaube eine Lösung gefunden zu haben. arctan' = $\begin{eqnarray} 1/(1+x^{2} \end{eqnarray}$ ) Mit $\begin{eqnarray} \mid x \mid \leq 1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 1/(1+x^{2}) \equiv \sum_{k=1}^\infty~(-1) x^{2n} \end{eqnarray}$ Und jetzt wie du schon sagtest: Einfach die Stammfunktion "finden"! Ich weiß ja, wie sie aussieht.
17.05.2005, 20:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich dachte, wir wären beim arcsin gewesen. Egal. In deiner Reihe fehlt ein ^n. Deine Reihe konvergiert nur für $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ . Und dann hattest du doch gesagt, dass ihr nicht integrieren dürftet. Allerdings gibt es tatsächlich einen Satz, der besagt, dass man eine Stammfunktion durch gliedweises Integrieren erhält. Wenn du den benutzen darfst, kannst du das so machen.
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17.05.2005, 20:30	creasy	Auf diesen Beitrag antworten »
Werde es einfach so machen, da mir nix besseres einfällt Weißt du wie der Satz heißt, über das gliedweise integrieren heißt? Danke für die Hilfe
17.05.2005, 21:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der hat keinen bestimmten Namen (zumindest ist mir ein solcher nicht bekannt). Die Aussage ist nur, dass auf dem Konvergenzintervall von $\begin{eqnarray} f(x):=\sum_{n=0}^\infty~a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} F(x):=\sum_{n=0}^\infty~\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion zu f ist. Dies folgt direkt aus dem "Differenzierbarkeitssatz", der besagt, dass eine Potenzreihe auf ihrem Konvergenzintervall bel. oft differenzierbar ist und man die Ableitungen durch gliedweise Differentiation gewinnen kann.
18.05.2005, 18:04	creasy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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