Vektoraufgabe - Projektion

05.01.2008, 18:38

n0name

Vektoraufgabe - Projektion

Abend, erstmal wünsche ich ein frohes neues Jahr.

Ich wollte gerade diese Aufgabe machen:

Zitat:

Man berechne die Projektion von w=(3,5,-2) auf die Gerade G mit der Parameterdarstellung r = (5,-2,3) + t(1,1,-2).

aber ich verstehe nicht genau was ich da machen soll, Projektion ist mir eingentlich bekannt, z.b die Projektion von dem Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Frage verstehen würde könnte ich es bestimmt rechnen.

vielen dank im voraus

05.01.2008, 18:54

system-agent

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suche nach zwei vektoren die senkrecht auf deiner geraden stehen und der erste an den "anfangspunkt" von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ und der andere an den "endpunkt" von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ zeigt. des stückchen gerade das von den beiden senkrechten vektoren eingeklemmt wird ist deine projektion

05.01.2008, 19:29

n0name

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siehe Bild:

Hab ich das jetzt korrekt verstanden?

Lösungsweg:

erstmal könnte ich den Normalenvektor von der Geraden bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Nach der Regel: vertausche 2 Komponenten und setzte die anderen auf null)

aber dann was soll ich dann tun? gerade zu w vllt bestimmen?

05.01.2008, 19:30

n0name

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sry es müsste $\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heissen

06.01.2008, 13:35

riwe

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RE: Vektoraufgabe - Projektion

Zitat:

Original von n0name
Abend, erstmal wünsche ich ein frohes neues Jahr.

Ich wollte gerade diese Aufgabe machen:

Zitat:

Man berechne die Projektion von w=(3,5,-2) auf die Gerade G mit der Parameterdarstellung r = (5,-2,3) + t(1,1,-2).

keine ahnung, wozu man da normalvektoren verwirrt

brauchen sollte.
die projektion von $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit dem richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ würde ich so berechnen:

$\begin{eqnarray*} \vec{w}_n=\frac{\vec{w}\cdot\vec{r}}{r²}\vec{r} \end{eqnarray*}$

und mit skizze und skalarprodukt solltest du das verstehen, sonst fragen.

07.01.2008, 18:27

n0name

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ahh... ok ich glaube ich habs (herleiten könnte ich sie allerdings nicht .)

Lösung:
$\begin{eqnarray*} \vec{w}_n = \begin{pmatrix} \frac{13}{\sqrt{6}} \\ \frac{13}{\sqrt{6}} \\ -\frac{26}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Die formel hab ich nun auch in einer formelsammlung gefunden, aber da ist keine erklärung

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_a=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \vec{a} \end{eqnarray*}$

entspricht ja dem was du mir gesagt hast riwe

ist es schwierig herzuleiten? weil ich würde gerne verstehen was ich da mache.

es wird wohl was mit dem winkel zwischen den beiden vektoren zu tun haben, und der betrag der komponenten die in richtung r zeigen

Kann mir das jemand erklären?

vielen dank für die bisherigen Erklärungen

12.01.2008, 11:45

n0name

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okey ich glaube ich habe es nun verstanden,

korrigiert mich wenn ich es falsch mache:

Die Projektion von w auf die gerade g berechnet man folgender maßen:

als erstes mal kann man mit Winkelfunktionen diese Beziehung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} |\vec {p}|= cos \alpha * |\vec{w}| \end{eqnarray*}$

mit dem Skalarprodukt gilt für $\begin{eqnarray*} cos\alpha \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{\vec{w} * \vec{r}}{|\vec{w}| * |\vec{r}|} \end{eqnarray*}$

mit einsetzten bekommt man dann:

$\begin{eqnarray*} |\vec {p}|= \frac{\vec{w} * \vec{r}}{ |\vec{r}|} \end{eqnarray*}$

und da man den Vektor der Projektion haben möchte muss man den Richtungsvektor noch vorgeben:

$\begin{eqnarray*} \vec {p}= \frac{\vec{w} * \vec{r}}{ |\vec{r}|} * \vec{r} \end{eqnarray*}$

stimmt meine "Herleitung" ?

vielen dank für eure Hilfe nochmal

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