Stückweise lineare Interpolation der Sinus-Funktion?

05.01.2008, 19:45	Lucia84	Auf diesen Beitrag antworten »
Stückweise lineare Interpolation der Sinus-Funktion? Guten Tag, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=sin(x) \end{eqnarray}$ soll auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0, \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray}$ so tabelliert werden, dass bei stückweiser linearer Interpolation zwischen den Stützstellen der Interpolationsfehler höchstens $\begin{eqnarray} 0.5 10^{-m} \end{eqnarray}$ beträgt. (also m stellen exakt) a) Wenn wir annehmen, dass die Tabellenwerte exakt sind. Wie viele Stützstellen werden benötigt? b) Die Tabellenwerte seien mit einem Fehler von max. $\begin{eqnarray} 0.5 * 10^{-k} \end{eqnarray*}$ behaftet. Wie viele Stützstellen braucht man dann? Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Ich weiß nicht welche Interpolation man verwenden soll und welche Abschätzungen es gibt, im meinem Skript finde ich leider auch nichts. Vielen Dank
06.01.2008, 02:19	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ganz normale Newtoninterpolation machen, da gibts dann auch ne Abschätzungsformel für den Fehler, die müsstest du eigentlich haben... ist son maximum von nem Produkt multipliziert mit dem maximum von der sondsovielten ableitung durch ... irgendwie sowas. Vielleicht findest du was im Workshop Polynominterpolation. mfG 20
06.01.2008, 16:41	Lucia84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke dir für die Antwort, ich weiß glaub ich welche Formel du meinst: $\begin{eqnarray} \|\|f(x)-\phi(x)\|\| \leq \frac{\prod_{i=1}^n(x-x_i}{(n+1)!}f^{(n+1)}(x) \end{eqnarray}$ Das ist diese Formel in der maximumsnorm, aber wie wende ich das auf mein Problem denn konkret an? Wie komme ich hier auf die Anzahl der Stützstellen? Vielen Dank
06.01.2008, 16:47	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, das geht wohl doch nicht so, hab mich vertan. Lineare Interpolation ist das ja nur, wenn du zwei Stützstellen hast. Ich weiß leider nicht, wie das richtig geht. mfG 20
06.01.2008, 18:19	Lucia84	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade 20 Cent. Aber ich komme leider auch nicht weiter. Also wenn jemand was weiß bitte melden Derjenige bekommt auch einen
07.01.2008, 13:27	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort ist "Fehlerabschätzung bei Linearen Splines". Ich hab hier mal was gegoogelt: http://books.google.com/books?id=tKrhTUm..._Lpbs#PPA360,M1 Für dich dürfte Satz 45.2 interessant sein.
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13.01.2008, 14:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
@Tobias: Wie funktioniert denn der Link? Ich komme da nicht an den Satz ran. könntest Du ihn ggf. einstellen? LG, tigerbine
13.01.2008, 18:33	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir kommt da ein (von Google eingescanntes) Buch, das sich ähnlich wie ein PDF-Dokument browsen lässt. Es handelt sich jedoch um eine Bilddatei. Der Satz sagt: Sei $\begin{eqnarray} f \in H^1(a, b) \end{eqnarray}$ und s der interpolierende lineare Spline zu f über einem Gitter $\begin{eqnarray} \Delta \subset [a, b] \end{eqnarray}$ mit Gitterweite h. Dann ist $\begin{eqnarray} \\| f - s \\|_{\mathcal{L}^2(a, b)} \leq \frac{h}{\sqrt{2}}\\|f' \\|_{\mathcal{L}^2(a, b)} \end{eqnarray}$

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