Rotationsvolumen um y-Achse-Herleitung

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mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsvolumen um y-Achse-Herleitung
Hallo,

Ich möchte jetzt gerne mal wieder etwas Herleiten und zwar ist es diesmal das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse. Folgendes hab ich mir überlegt:

Ich teile die Fläche die Rotieren soll erstmal in Rechtecke mit Obersumme auf bzw. Untersumme (Ich mach es mit Obersumme). Dann lass ich diese Streifen rotieren und bilde den Grenzwert für n gegen Unendlich (n ist hier die Anzahl der Rechtecke).
Dann erhalte ich folgendes:

Vobei Delta x die Höhe der einzelnen Cylinder und x_i-a r_i definieren.

Weiß jemand wie ich jetzt weiter machen könnte, oder wenn dies falsch ist was ich sonst machen könnte??
Zeichnung kann ich leider nicht machen.

Und kann mir jemand vlt. sagen wie man das Delta x mit Latex darstellt??

Bis denn mathe760 Wink
hasesh Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

du lässt also rechtecke um die y-achse rotieren, richtig?

wäre dann aber nicht x der radius eines solchen teilzylinders und müsste seine höhe nicht delta y sein?

aber wahrscheinlich hab ich irgendetwas nicht richtig verstanden?!
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

ne du hast recht aber a muss doch nicht gleich null sein so dass der radius doch
sein müsste oder??

Kann mir jetzt einer helfen das zu lösen??

Bis denn mathe760 Wink
hasesh Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn a?

der betrag der x_i ist doch der radius des zu einem rechteck gehörenden teilzylinders?!
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rotationsfläche ist ja im Intervall von a bis b und da a ja nicht zwingend =0 sein muss ist der radius der einzelnen Rotations Cylindern: oder warum ist der radius nur betrag von x_i also ohne minus a??
Kann mir das jemand beantworten verwirrt vllt. auch mit zeichnung)

Bis denn mathe760 Wink
hasesh Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich gehe davon aus, dass bei rotation um die y-achse, der radius die strecke

0 bis x_i also x_i ist.

klar, dass dies für symmetrische rotationskörper gilt (d.h. für rechtecke, deren länge symmetrisch um den 0-Punkt liegen).

ist mir nicht ganz klar, was du genau mit rotationsfläche meinst. ist das die kreisfläche, die durch den radius definiert wird. oder meinst du gerade etwas anderes?

falls die länge des rechtecks nicht symmetrisch um die y-achse liegt...
dann wäre der radius immer noch x_i.

andere ideen halte ich nicht für plausibel. was ist denn dieses a? wie du es beschreibst ein anfangspunkt...

wenn das ganze innerhalb des intervalls [a,b] stattfinden soll, begrenzt das eben
den (größtmöglichen) radius.

eine zeichnung kann ich hier nicht machen. :-(
 
 
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

ah du hast recht der radius ist x_i. Ich dachte da zum Beispiel an einen Torus, da ist ja auch ein "Zwischenraum zwischen Rotationsfläche (das ist die fläche die Rotieren soll) und der y-Achse, deshalb dachte ich, das der radius allgemein x_i-a ist.

Naja kann mir denn jetzt jemand mit der herleitung helfen, da ja nun denke ich alle definitionen geklärt sind. (oder?)

Bis denn mathe760 Wink
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir jetzt einer weiterhelfen, das wäre mir ziemlich wichtig das zu verstehen, wie man auf die Formel kommt!

Bis denn mathe760 Wink
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es wirklich überhaupt keinen, der mir helfen kann? Wenn doch dann meldet euch doch bitte unglücklich

Bis denn mathe760 Wink
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Will mir echt niemand helfen?
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Halloooo Ist hier irgendjemand, der mir bei meinem Priblem helfen kann und will wenn nicht, warum hilft mir denn keiner?? Ich möchte doch nur einen Ansatz und ich hab auch schon danach gesucht, aber nichts brauchbares dazu gefunden; also hilft mir bitte endlich Gott

Bis denn mathe760 Wink
jona89 Auf diesen Beitrag antworten »

Lass doch einfach die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren Augenzwinkern
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne ich will ja am Ende die Formel erhalten, für die ratation um die y-Achse, oder geht das auch so, wenn ja könntest du mir das vielleicht noch etwas erläutern??

Bis denn mathe760 Wink
jona89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also,
wenn du das Rotationsvolumen einer Funktion f(x) um die y-Achse bestimmen möchtest, dann ist das nichts anderes als die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren zu lassen. Das setzt natürlich voraus, dass eine Umkehrfunktion existiert.

Ich denke, du solltest dir das zunächst einmal graphisch klar machen. Zeichne einfach f(x) = x^2 und die Umkehrfunktion f(x) = wurzel(x).

Ich glaube, eine Formel für die Rotation um die y-Achse existiert nicht.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

doch die existiert! und zwar:
Das mit der Umkehrfunktion war mir übrigens auch schon klar, aber trotzdem danke smile So kann mir denn einer helfen?

Bis denn mathe760 Wink
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso Antwortet denn nie einer, ich möchte doch lediglich erstmal nur einen Ansatz! Wobei der mit der Umkehrfunktion schon allein ausscheidet, weil nicht jede Funktion auch umkehrbar ist und ich es ja allgemein zeigen möchte!

Also dann könnt ihr mir jetzt Anzätze liefern? Dann rechne ich sie auch (so weit wie es mir möglich ist) selbst.

Bis denn mathe760 Wink
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo will mir denn echt niemnd helfen? Ich muss das echt bald gelöst haben!! unglücklich

Bis denn mathe760 Wink
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Formel ist falsch.

Hier steht die richtige:

http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper

Inklusive Herleitung.
mfG 20
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs editiert, aber kann man das nicht auch ohne Umkehrfunktion machen? Weil es sind ja nicht alle Funktionen stetig! Geht es z.B nicht mit dem Ansatz in meinem ersten Post, oder einen anderen ohne UF?

Bis denn mathe760 Wink
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel ist immer noch falsch Augenzwinkern
Falsche Grenzen und da steht nicht f, sondern die Ableitung.
Also der Ansatz im ersten Post ist so nicht richtig, da dann das Delta x konstant wäre. Kennst du dich überhaupt schon mit Integralen aus? Das Delta x muss immer kleiner werden.

Ich glaube nicht, dass das ohne Umkehrfunktion geht, denn es ist nunmal so, dass die Breite des Rotationskörpers, bzw. der Radius, eine Funktion von y ist, mit Werten x.
mfG 20
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok dann vielen Dank 20 Cent.
Und ja eigentlkich kenn ich mich mit Integralen aus, aber anscheinend war ich als ich diesen ansatz gemacht habe, nicht ganz bei Sinnen^^

Bis denn mathe760
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