Freiheit von endlich-dimensionalen Vektorräumen

06.01.2008, 12:32	Nikolas	Auf diesen Beitrag antworten »
Freiheit von endlich-dimensionalen Vektorräumen Hallo liebe Leute, mir wurde aufgetragen folgende Aufgabe zu lösen und komme da irgendwie nicht mit klar! viell. könnt ihr mir ja bitte weiterhelfen: Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Zeigen Sie, dass es eine Teilmenge B von V gibt, welche folgende universelle Eigenschaft erfüllt: Zu jeder Abbildung f : B --> W in einen K-Vektorraum W gibt es genau eine lineare Abbildung L: V --> W mit L\|B = f. Vielen Dank Niko
06.01.2008, 12:38	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das B wie Basis verrät schon die Lösung. Gruß, therisen
06.01.2008, 15:41	Nikolas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, wenn man es vor augen hat dann wird es einem bestimmt klar, aber kA wie ich jetzt das ganze zeige! viell. kannst du mir ein paar schritte zeigen? wäre echt nett! danke im vorraus Niko
06.01.2008, 16:47	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es eine solche Abbildung gibt, dann ist sie eindeutig festgelegt. Schreibe dazu $\begin{eqnarray} x\in V \end{eqnarray}$ als Linearkombination deiner Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und nutze die Linearität der Abbildung (hier setzst du die Existenz voraus). Zeige anschließend, dass sie tatsächlich linear ist.
06.01.2008, 20:49	Nikolas	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Danke für deine Mühe, muss ich mal gucken wie ich das dann mache! Ich denke, aus deiner sicht kann man garnicht mehr tipps geben :-)! Aus meiner sicht leider doch, weil ich bei der einführung dieses themas komplett gefehlt habe und ich immer nur einzelteile verstehe!
08.01.2008, 09:48	Jochen456	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, habe genau die gleiche aufgabe zu rechnen, kriege es aber einfach nicht hin! Der hinweis reicht leider nicht! es wäre hilfreich, ein paar schritte mehr zu haben! Bitte leute... vielen dank Jochen
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08.01.2008, 10:04	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} B=\{b_1,\dots,b_n\} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f:B\to W \end{eqnarray}$ eine Abbildung. Sei nun weiter $\begin{eqnarray} L:V\to W \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray} L\big\|_B=f \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt: Schreibe $\begin{eqnarray} V\ni x = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \end{eqnarray}$ . Es folgt $\begin{eqnarray} f(x)=f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i b_i\right)=\sum_{i=1}^n\lambda_i f(b_i) \end{eqnarray}$ . Dies zeigt zusätzlich, wie man $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ zu definieren hat (die Existenz ist noch nicht bewiesen!). Man rechnet leicht nach, dass dies tatsächlich eine lineare Abbildung ist.

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